Calcolo Esempi

$\int (- 6 x + 2) {(- 3 x^{2} + 2 x + 5)}^{3} d x$

Passaggio 1

Sia $u = - 3 x^{2} + 2 x + 5$ . Allora $d u = (- 6 x + 2) d x$ , quindi $\frac{1}{- 6 x + 2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = - 3 x^{2} + 2 x + 5$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $- 3 x^{2} + 2 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 2 x + 5]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{2} + 2 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 6 x + 2 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.5.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 6 x + 2 + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $- 6 x + 2$ e $0$ .

$- 6 x + 2$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{3} d u$

Passaggio 2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C$

Passaggio 3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 3 x^{2} + 2 x + 5$ .

$\frac{1}{4} {(- 3 x^{2} + 2 x + 5)}^{4} + C$