Calcolo Esempi

$y = (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x)))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sec (x) + \tan (x)$ e $g (x) = \sec (x) - \tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) - \tan (x)] + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sec (x) - \tan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Passaggio 3.3

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \tan (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Passaggio 3.5

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sec (x) + \tan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Passaggio 3.7

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Passaggio 3.8

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.1

Espandi $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sec (x) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.2.1.1

Moltiplica $\sec (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.2.1.1.1

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.2.1.1.2

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.2.1.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.2.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.2.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.2.1.3

Moltiplica $\sec (x)$ per $\sec^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.2.1.3.1

Sposta $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.2.1.3.2

Moltiplica $\sec^{2} (x)$ per $\sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.2.1.3.2.1

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.2.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sec^{2} (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2 + 1} + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.2.1.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.2.1.4

Moltiplica $\tan (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.2.1.4.1

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.2.1.4.2

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.2.1.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.2.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.2.1.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.2.2

Riordina i fattori di $- \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{2} (x) \tan (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.2.3

Sottrai $\sec^{2} (x) \tan (x)$ da $\sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$0 - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.2.4

Sottrai $\sec^{3} (x)$ da $0$ .

$- \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.3

Scomponi $\sec (x)$ da $- \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.3.1

Scomponi $\sec (x)$ da $- \sec^{3} (x)$ .

$\sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.3.2

Scomponi $\sec (x)$ da $\tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.3.3

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$\sec (x) (- \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.4

Scomponi $- 1$ da $- \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) (- (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.5

Scomponi $- 1$ da $\tan^{2} (x)$ .

$\sec (x) (- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.6

Scomponi $- 1$ da $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ .

$\sec (x) (- (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.7

Applica l'identità pitagorica.

$\sec (x) (- 1 \cdot 1) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\sec (x) \cdot - 1 + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.9

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\sec (x)$ .

$- 1 \cdot \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.10

Riscrivi $- 1 \sec (x)$ come $- \sec (x)$ .

$- \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.11

Espandi $(\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Passaggio 3.9.1.12

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.12.1.1

Moltiplica $\sec (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.12.1.1.1

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Passaggio 3.9.1.12.1.1.2

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Passaggio 3.9.1.12.1.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Passaggio 3.9.1.12.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Passaggio 3.9.1.12.1.2

Moltiplica $\sec (x)$ per $\sec^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.12.1.2.1

Moltiplica $\sec (x)$ per $\sec^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.12.1.2.1.1

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{1} (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Passaggio 3.9.1.12.1.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{1 + 2} - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Passaggio 3.9.1.12.1.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Passaggio 3.9.1.12.1.3

Moltiplica $- \tan (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.12.1.3.1

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Passaggio 3.9.1.12.1.3.2

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Passaggio 3.9.1.12.1.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Passaggio 3.9.1.12.1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Passaggio 3.9.1.12.2

Riordina i fattori di $- \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)$

Passaggio 3.9.1.12.3

Sottrai $\sec^{2} (x) \tan (x)$ da $\sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$- \sec (x) + 0 + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

Passaggio 3.9.1.12.4

Somma $0$ e $\sec^{3} (x)$ .

$- \sec (x) + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

Passaggio 3.9.1.13

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.13.1

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec^{3} (x)$ .

$- \sec (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

Passaggio 3.9.1.13.2

Scomponi $\sec (x)$ da $- \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$- \sec (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.13.3

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ .

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Passaggio 3.9.1.14

Applica l'identità pitagorica.

$- \sec (x) + \sec (x) \cdot 1$

Passaggio 3.9.1.15

Moltiplica $\sec (x)$ per $1$ .

$- \sec (x) + \sec (x)$

Passaggio 3.9.2

Somma $- \sec (x)$ e $\sec (x)$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 0$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 0$