Calcolo Esempi

$y = \ln (e^{x} + x e^{x})$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (e^{x} + x e^{x}))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = e^{x} + x e^{x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $e^{x} + x e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{x} + x e^{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + x e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 3.6.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Passaggio 3.6.2

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 3.6.2.1

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x})$

Passaggio 3.6.2.2

Somma $e^{x}$ e $e^{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (x e^{x} + 2 e^{x})$

Passaggio 3.7

Semplifica.

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Passaggio 3.7.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (x e^{x} + 2 e^{x})$ .

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} + x e^{x}}$

Passaggio 3.7.2

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} + x e^{x}$ .

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Passaggio 3.7.2.1

Moltiplica per $1$ .

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} \cdot 1 + x e^{x}}$

Passaggio 3.7.2.2

Scomponi $e^{x}$ da $x e^{x}$ .

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} \cdot 1 + e^{x} x}$

Passaggio 3.7.2.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} \cdot 1 + e^{x} x$ .

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} (1 + x)}$

Passaggio 3.7.3

Moltiplica $x e^{x} + 2 e^{x}$ per $\frac{1}{e^{x} (1 + x)}$ .

$\frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x)}$

Passaggio 3.7.4

Scomponi $e^{x}$ da $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

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Passaggio 3.7.4.1

Scomponi $e^{x}$ da $x e^{x}$ .

$\frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x)}$

Passaggio 3.7.4.2

Scomponi $e^{x}$ da $2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} x + e^{x} \cdot 2}{e^{x} (1 + x)}$

Passaggio 3.7.4.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x)}$

Passaggio 3.7.5

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

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Passaggio 3.7.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x)}$

Passaggio 3.7.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x + 2}{1 + x}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{x + 2}{1 + x}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 2}{1 + x}$