Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9}$ , $x = 4$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $4$ a $x$ .

$y = \sqrt{{(4)}^{2} + 9}$

Passaggio 1.2

Semplifica $\sqrt{{(4)}^{2} + 9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = \sqrt{16 + 9}$

Passaggio 1.2.2

Somma $16$ e $9$ .

$y = \sqrt{25}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$y = \sqrt{5^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$y = 5$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 4$ e $y = 5$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 9}$ come ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 9$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 9$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 2.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 2.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 2.7.3

Sposta ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 2.10

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Passaggio 2.11

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.11.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Passaggio 2.11.2

$2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} x$

Passaggio 2.11.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.11.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.11.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.12

Calcola la derivata per $x = 4$ .

$\frac{4}{{({(4)}^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.13

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.13.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4}{{(16 + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.13.2

Somma $16$ e $9$ .

$\frac{4}{25^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.13.3

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{4}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.13.4

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 2.13.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 2.13.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{5^{1}}$

Passaggio 2.13.6

Calcola l'esponente.

$\frac{4}{5}$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{4}{5}$ e un punto dato $(4, 5)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = \frac{4}{5} \cdot (x - (4))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 5 = \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $\frac{4}{5} \cdot (x - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - 5 = 0 + 0 + \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 5 = \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 5 = \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot - 4$

Passaggio 3.3.1.4

$\frac{4}{5}$ e $x$ .

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot - 4$

Passaggio 3.3.1.5

Moltiplica $\frac{4}{5} \cdot - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1

$\frac{4}{5}$ e $- 4$ .

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{4 \cdot - 4}{5}$

Passaggio 3.3.1.5.2

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16}{5}$

Passaggio 3.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - 5 = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5}$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + 5$

Passaggio 3.3.2.2

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 3.3.2.3

$5$ e $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5}$

Passaggio 3.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16 + 5 \cdot 5}{5}$

Passaggio 3.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.5.1

Moltiplica $5$ per $5$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16 + 25}{5}$

Passaggio 3.3.2.5.2

Somma $- 16$ e $25$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{9}{5}$

Passaggio 3.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{4}{5} x + \frac{9}{5}$

Passaggio 4