Calcolo Esempi

$y = \frac{5 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5 \cos (x)}{1 + \sin (x)})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4

Differenzia.

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Passaggio 3.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.5

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.6

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.7

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.9

Somma $1$ e $1$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10

$5$ e $\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ .

$\frac{5 ((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11

Semplifica.

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Passaggio 3.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 (1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 (1 (- \sin (x))) + 5 (\sin (x) (- \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.11.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.11.3.1.1

Moltiplica $- \sin (x)$ per $1$ .

$\frac{5 (- \sin (x)) + 5 (\sin (x) (- \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (\sin (x) (- \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- \sin (x) \sin (x)) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.1.4

Moltiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 3.11.3.1.4.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.1.4.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.1.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- \sin^{2} (x)) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x) - 5 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.2

Scomponi $- 5$ da $- 5 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 (\sin^{2} (x)) - 5 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.3

Scomponi $- 5$ da $- 5 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 (\sin^{2} (x)) - 5 (\cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.4

Scomponi $- 5$ da $- 5 (\sin^{2} (x)) - 5 (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.5

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 \cdot 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.6

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.4

Riordina i termini.

$\frac{- 5 - 5 \sin (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.5

Scomponi $- 5$ da $- 5 - 5 \sin (x)$ .

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Passaggio 3.11.5.1

Scomponi $- 5$ da $- 5$ .

$\frac{- 5 (1) - 5 \sin (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.5.2

Scomponi $- 5$ da $- 5 \sin (x)$ .

$\frac{- 5 (1) - 5 (\sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.5.3

Scomponi $- 5$ da $- 5 (1) - 5 (\sin (x))$ .

$\frac{- 5 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.6

Elimina il fattore comune di $1 + \sin (x)$ e ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

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Passaggio 3.11.6.1

Scomponi $1 + \sin (x)$ da $- 5 (1 + \sin (x))$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 5}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.11.6.2.1

Scomponi $1 + \sin (x)$ da ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 5}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Passaggio 3.11.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 5}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Passaggio 3.11.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 5}{1 + \sin (x)}$

Passaggio 3.11.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5}{1 + \sin (x)}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{5}{1 + \sin (x)}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5}{1 + \sin (x)}$