Calcolo Esempi

$\sqrt{1 - t^{2}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 - t^{2}}$ come ${(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [{(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 1 - t^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - t^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - t^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Passaggio 7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(1 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Passaggio 7.3

Sposta ${(1 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Passaggio 8

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Passaggio 9

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Passaggio 10

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t^{2}$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 t))$

Passaggio 13

Semplifica i termini.

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Passaggio 13.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t)$

Passaggio 13.2

$- 2$ e $\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} t$

Passaggio 13.3

$\frac{- 2}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $t$ .

$\frac{- 2 t}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13.4

Scomponi $2$ da $- 2 t$ .

$\frac{2 (- t)}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 14.1

Scomponi $2$ da $2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- t)}{2 ({(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- t)}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- t}{{(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{t}{{(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$