Calcolo Esempi

$\frac{(\sin (x))}{e^{x}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{e^{x} \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} \cos (x) - \sin (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riordina i fattori in $e^{x} \cos (x) - \sin (x) e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

Passaggio 5.2

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x)$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} \cos (x)$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x)) - e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x} \sin (x)$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x)) + e^{x} (- \sin (x))}{e^{2 x}}$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (\cos (x)) + e^{x} (- \sin (x))$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x) - \sin (x))}{e^{2 x}}$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $e^{x} (\cos (x) - \sin (x))$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)))}{e^{2 x}}$

Passaggio 5.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.3.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 5.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))}{1}$

Passaggio 5.3.2.4

Dividi $e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))$ per $1$ .

$e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 5.4

Applica la proprietà distributiva.

$e^{- x} \cos (x) + e^{- x} (- \sin (x))$

Passaggio 5.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$