Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} {(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}}$ come $e^{\ln ({(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}})$ spostando $\frac{2}{x}$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{2}{x} \ln (e^{3 x} + 5)}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} \ln (e^{3 x} + 5)}$

Passaggio 2.2

$\frac{2}{x}$ e $\ln (e^{3 x} + 5)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 \ln (e^{3 x} + 5)}{x}}$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{3 x} + 5)}{x}}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{2 \frac{lim_{x \to \infty} \ln (e^{3 x} + 5)}{lim_{x \to \infty} x}}$

Passaggio 3.1.2

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

Passaggio 3.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 3.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{3 x} + 5)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x} + 5)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x} + 5)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = e^{3 x} + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $e^{3 x} + 5$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $e^{3 x} + 5$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{3 x} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 3.3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.8

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.9

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (3 e^{3 x} + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.10

Somma $3 e^{3 x}$ e $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} \cdot 3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.11

$3$ e $\frac{1}{e^{3 x} + 5}$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{e^{3 x} + 5} e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.12

$\frac{3}{e^{3 x} + 5}$ e $e^{3 x}$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}{1}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5} \cdot 1}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $\frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}$ per $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}$

Passaggio 4

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}$

Passaggio 5

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{2 \cdot 3 \frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + 5}}$

Passaggio 5.1.2

Poiché l'esponente $3 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{3 x}$ tende a $\infty$ .

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + 5}}$

Passaggio 5.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 5.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 5}}$

Passaggio 5.1.3.2

Poiché l'esponente $3 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{3 x}$ tende a $\infty$ .

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 5}}$

Passaggio 5.1.3.3

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty + 5}}$

Passaggio 5.1.3.4

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 5.1.3.5

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 5.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 5} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}$

Passaggio 5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Passaggio 5.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Passaggio 5.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Passaggio 5.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Passaggio 5.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Passaggio 5.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Passaggio 5.3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Passaggio 5.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{3 x} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5]}}$

Passaggio 5.3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

Passaggio 5.3.8.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

Passaggio 5.3.8.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

Passaggio 5.3.8.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

Passaggio 5.3.8.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]}}$

Passaggio 5.3.8.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [5]}}$

Passaggio 5.3.8.5

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [5]}}$

Passaggio 5.3.9

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} + 0}}$

Passaggio 5.3.10

Somma $3 e^{3 x}$ e $0$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x}}}$

Passaggio 5.4

Riduci.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x}}}$

Passaggio 5.4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}}$

Passaggio 5.4.2

Elimina il fattore comune di $e^{3 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}}$

Passaggio 5.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$e^{2 \cdot 3 \cdot 1}$

Passaggio 7

Moltiplica $2 \cdot 3 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$e^{6 \cdot 1}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $6$ per $1$ .

$e^{6}$