Calcolo Esempi

$\sqrt[3]{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt[3]{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

Passaggio 2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

Passaggio 2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ come ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 3.7

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 3.7.2

$\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 3.7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 3.8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 3.9

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 3.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 3.11.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 3.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 3.13

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 3.14

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - - \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 3.15

Moltiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ per $x^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - - \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 3.15.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - - \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 3.15.3

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - - \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 3.15.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - - \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 3.16

Sposta $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - - \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 3.17

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 3.18

Moltiplica $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ per $1$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 3.19

Moltiplica $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ per $0$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + 0$

Passaggio 3.20

Somma $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ e $0$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$