Calcolo Esempi

$x^{4} (x + y) = y^{2} (3 x - y)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (x^{4} (x + y)) = \frac{d}{d y} (y^{2} (3 x - y))$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x^{4}$ e $g (y) = x + y$ .

$x^{4} \frac{d}{d y} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x^{4} (x' + \frac{d}{d y} [y]) + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{4}$ e $g (y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x$ .

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) (4 u^{3} \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) (4 x^{3} \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 2.6

Sposta $4$ alla sinistra di $x + y$ .

$x^{4} (x' + 1) + 4 \cdot (x + y) x^{3} \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 2.7

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x^{4} (x' + 1) + 4 (x + y) x^{3} x'$

Passaggio 2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + 4 (x + y) x^{3} x'$

Passaggio 2.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + (4 x + 4 y) x^{3} x'$

Passaggio 2.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + (4 x \cdot x^{3} + 4 y x^{3}) x'$

Passaggio 2.8.4

Applica la proprietà distributiva.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + 4 x \cdot x^{3} x' + 4 y x^{3} x'$

Passaggio 2.8.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.5.1

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$x^{4} x' + x^{4} + 4 x \cdot x^{3} x' + 4 y x^{3} x'$

Passaggio 2.8.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.5.2.1

Sposta $x^{3}$ .

$x^{4} x' + x^{4} + 4 (x^{3} x) x' + 4 y x^{3} x'$

Passaggio 2.8.5.2.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.5.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{4} x' + x^{4} + 4 (x^{3} x^{1}) x' + 4 y x^{3} x'$

Passaggio 2.8.5.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{4} x' + x^{4} + 4 x^{3 + 1} x' + 4 y x^{3} x'$

Passaggio 2.8.5.2.3

Somma $3$ e $1$ .

$x^{4} x' + x^{4} + 4 x^{4} x' + 4 y x^{3} x'$

Passaggio 2.8.5.3

Somma $x^{4} x'$ e $4 x^{4} x'$ .

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 y x^{3} x'$

Passaggio 2.8.6

Riordina i termini.

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = 3 x - y$ .

$y^{2} \frac{d}{d y} [3 x - y] + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 3.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $y$ è $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$y^{2} (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$y^{2} (3 x' + \frac{d}{d y} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$y^{2} (3 x' - \frac{d}{d y} [y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y^{2} (3 x' - 1 \cdot 1) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y^{2} (3 x' - 1) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y^{2} (3 x' - 1) + (3 x - y) (2 y)$

Passaggio 3.8

Sposta $2$ alla sinistra di $3 x - y$ .

$y^{2} (3 x' - 1) + 2 \cdot (3 x - y) y$

Passaggio 3.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} (3 x') + y^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x - y) y$

Passaggio 3.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} (3 x') + y^{2} \cdot - 1 + (2 (3 x) + 2 (- y)) y$

Passaggio 3.9.3

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} (3 x') + y^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

Passaggio 3.9.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.4.1

Sposta $3$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$3 \cdot y^{2} x' + y^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

Passaggio 3.9.4.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$3 y^{2} x' - 1 \cdot y^{2} + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

Passaggio 3.9.4.3

Riscrivi $- 1 y^{2}$ come $- y^{2}$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

Passaggio 3.9.4.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y + 2 (- y) y$

Passaggio 3.9.4.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 y \cdot y$

Passaggio 3.9.4.6

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 (y^{1} y)$

Passaggio 3.9.4.7

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 (y^{1} y^{1})$

Passaggio 3.9.4.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 y^{1 + 1}$

Passaggio 3.9.4.9

Somma $1$ e $1$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 y^{2}$

Passaggio 3.9.4.10

Sottrai $2 y^{2}$ da $- y^{2}$ .

$3 y^{2} x' - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 3.9.5

Riordina i termini.

$- 3 y^{2} + 3 y^{2} x' + 6 x y$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' = - 3 y^{2} + 3 y^{2} x' + 6 x y$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $3 y^{2} x'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.2

Sottrai $x^{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Passaggio 5.3

Scomponi $x'$ da $5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $x'$ da $5 x^{4} x'$ .

$x' (5 x^{4}) + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $x'$ da $4 x^{3} y x'$ .

$x' (5 x^{4}) + x' (4 x^{3} y) - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $x'$ da $- 3 y^{2} x'$ .

$x' (5 x^{4}) + x' (4 x^{3} y) + x' (- 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Passaggio 5.3.4

Scomponi $x'$ da $x' (5 x^{4}) + x' (4 x^{3} y)$ .

$x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y) + x' (- 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Passaggio 5.3.5

Scomponi $x'$ da $x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y) + x' (- 3 y^{2})$ .

$x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Passaggio 5.4

Dividi per $5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ ciascun termine in $x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ ciascun termine in $x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ .

$\frac{x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} = \frac{- 3 y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{- x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{- x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = - \frac{(3) y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{- x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = - \frac{3 y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} - \frac{x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.4.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x' = \frac{- 3 y^{2} + 6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} - \frac{x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.4.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x' = \frac{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.4.3.2.3

Scomponi $- 1$ da $- 3 y^{2}$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2}) + 6 x y - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.4.3.2.4

Scomponi $- 1$ da $6 x y$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2}) - (- 6 x y) - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.4.3.2.5

Scomponi $- 1$ da $- (3 y^{2}) - (- 6 x y)$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2} - 6 x y) - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.4.3.2.6

Scomponi $- 1$ da $- x^{4}$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.4.3.2.7

Scomponi $- 1$ da $- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.4.3.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.8.1

Riscrivi $- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ come $- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ .

$x' = \frac{- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.4.3.2.8.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = - \frac{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$