Calcolo Esempi

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 2}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} \sqrt{x^{2} - 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Passaggio 1.1.2.1.4

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} - 1 \cdot 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{\sqrt{4 - 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Passaggio 1.1.2.3.4

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{\sqrt{0^{2}}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Passaggio 1.1.2.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 2}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 2} = lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 4}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 4}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 1.3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} - 4}$ come ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 1.3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 1.3.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 1.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 1.3.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 1.3.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 1.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 1.3.9

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 1.3.10

Sposta ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 1.3.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 1.3.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 1.3.13

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 1.3.14

Somma $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 1.3.15

$2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{2}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} x}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 1.3.16

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 1.3.17

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 1.3.18

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 1.3.19

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 1.3.20

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 1.3.21

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Passaggio 1.3.22

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 1.5

Riscrivi ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x^{2} - 4}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}} \cdot 1$

Passaggio 1.6

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ per $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Passaggio 2

Poiché il numeratore è positivo e il denominatore $\sqrt{x^{2} - 4}$ tende a zero ed è maggiore di zero per $x$ vicino a $2$ a destra, la funzione aumenta senza limite.

$\infty$