Calcolo Esempi

$\int 4 x^{3} (4 x^{4} + 5) d x$

Passaggio 1

Sia $u = 4 x^{4} + 5$ . Allora $d u = 16 x^{3} d x$ , quindi $\frac{1}{16} d u = x^{3} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = 4 x^{4} + 5$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $4 x^{4} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4} + 5]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{4} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{4}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$16 x^{3} + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $16 x^{3}$ e $0$ .

$16 x^{3}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 4 u \frac{1}{16} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{16}$ e $4$ .

$\int \frac{4}{16} u d u$

Passaggio 2.2

$\frac{4}{16}$ e $u$ .

$\int \frac{4 u}{16} d u$

Passaggio 2.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Scomponi $4$ da $4 u$ .

$\int \frac{4 (u)}{16} d u$

Passaggio 2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$\int \frac{4 u}{4 \cdot 4} d u$

Passaggio 2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{4 u}{4 \cdot 4} d u$

Passaggio 2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{u}{4} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int u d u$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ come $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} u^{2} + C$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{1}{8} u^{2} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x^{4} + 5$ .

$\frac{1}{8} {(4 x^{4} + 5)}^{2} + C$