Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{5}}{10} + \frac{1}{6 x^{3}}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{5}}{10} + \frac{1}{6 x^{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $\frac{1}{10}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{5}}{10}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Passaggio 2.3

$5$ e $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Passaggio 2.4

$\frac{5}{10}$ e $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Passaggio 2.5

Elimina il fattore comune di $5$ e $10$ .

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Passaggio 2.5.1

Scomponi $5$ da $5 x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Passaggio 2.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.5.2.1

Scomponi $5$ da $10$ .

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Passaggio 2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Passaggio 2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{6 x^{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Passaggio 3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Passaggio 3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Passaggio 3.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Passaggio 3.7

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Passaggio 3.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 x^{2 - 6})$

Passaggio 3.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 x^{- 4})$

Passaggio 3.8

$- 3$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 3}{6} x^{- 4}$

Passaggio 3.9

$\frac{- 3}{6}$ e $x^{- 4}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 3 x^{- 4}}{6}$

Passaggio 3.10

Sposta $x^{- 4}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 3}{6 x^{4}}$

Passaggio 3.11

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $6$ .

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Passaggio 3.11.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{3 (- 1)}{6 x^{4}}$

Passaggio 3.11.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.11.2.1

Scomponi $3$ da $6 x^{4}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{3 (- 1)}{3 (2 x^{4})}$

Passaggio 3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (2 x^{4})}$

Passaggio 3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2 x^{4}}$

Passaggio 3.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x^{4}}{2} - \frac{1}{2 x^{4}}$