Calcolo Esempi

$\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x \ln^{2} (x)} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'integrale come un limite per $t$ tendente a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{e}^{t} \frac{1}{x \ln^{2} (x)} d x$

Passaggio 2

Sia $u = \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = \ln (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 2.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e)$

Passaggio 2.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (t)$

Passaggio 2.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \ln (t)$

Passaggio 2.6

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 3.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} u^{2 \cdot - 1} d u$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} u^{- 2} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} - u^{- 1}]_{1}^{\ln (t)}$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.1

Calcola $- u^{- 1}$ per $\ln (t)$ e per $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- \ln^{- 1} (t)) + 1^{- 1}$

Passaggio 5.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$lim_{t \to \infty} - \ln^{- 1} (t) + 1$

Passaggio 6

Calcola il limite.

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Passaggio 6.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$- lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (t) + lim_{t \to \infty} 1$

Passaggio 6.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{\ln (t)} + lim_{t \to \infty} 1$

Passaggio 6.3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{\ln (t)}$ tende a $0$ .

$- 0 + lim_{t \to \infty} 1$

Passaggio 6.4

Calcola il limite.

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Passaggio 6.4.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$0 + 1$

Passaggio 6.4.2

Somma $0$ e $1$ .

$1$