Calcolo Esempi

$\int_{- \frac{π}{4}}^{7 \frac{π}{4}} (\sin (x) + \cos (x)) d x$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})} \sin (x) + \cos (x) d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})} \sin (x) d x + \int_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})} \cos (x) d x$

Passaggio 3

L'integrale di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})} + \int_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})} \cos (x) d x$

Passaggio 4

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$- \cos (x)]_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})} + \sin (x)]_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$- \cos (x)]_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})}$ e $\sin (x)]_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})}$ .

$- \cos (x) + \sin (x)]_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})}$

Passaggio 5.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Calcola $- \cos (x) + \sin (x)$ per $7 (\frac{π}{4})$ e per $- \frac{π}{4}$ .

$(- \cos (7 \frac{π}{4}) + \sin (7 \frac{π}{4})) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Passaggio 5.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

$7$ e $\frac{π}{4}$ .

$- \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (7 \frac{π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Passaggio 5.2.2.2

$7$ e $\frac{π}{4}$ .

$- \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Passaggio 6.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{7 π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Passaggio 6.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Passaggio 6.1.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Passaggio 6.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.5.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Passaggio 6.1.5.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \cos (\frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Passaggio 6.1.5.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (- \frac{π}{4}))$

Passaggio 6.1.5.4

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{7 π}{4}))$

Passaggio 6.1.5.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4}))$

Passaggio 6.1.5.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 6.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 6.1.7

Sottrai $\sqrt{2}$ da $- \sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 6.1.8

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.8.1

Scomponi $2$ da $- 2 \sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Passaggio 6.1.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.8.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Passaggio 6.1.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Passaggio 6.1.8.2.4

Dividi $- \sqrt{2}$ per $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - - \sqrt{2}$

Passaggio 6.1.9

Moltiplica $- - \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.9.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \sqrt{2}$

Passaggio 6.1.9.2

Moltiplica $\sqrt{2}$ per $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

Passaggio 6.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{2} + \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 6.3

Sottrai $\sqrt{2}$ da $- \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} + \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 6.4

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Scomponi $2$ da $- 2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} + \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Passaggio 6.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\sqrt{2} + \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Passaggio 6.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{2} + \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Passaggio 6.4.2.4

Dividi $- \sqrt{2}$ per $1$ .

$\sqrt{2} - \sqrt{2}$

Passaggio 6.5

Sottrai $\sqrt{2}$ da $\sqrt{2}$ .

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