Calcolo Esempi

$y = k \sqrt{x} + x \sqrt{k}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $k \sqrt{x} + x \sqrt{k}$ rispetto a $k$ è $\frac{d}{d k} [k \sqrt{x}] + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$ .

$\frac{d}{d k} [k \sqrt{x}] + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d k} [k \sqrt{x}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $\sqrt{x}$ è costante rispetto a $k$ , la derivata di $k \sqrt{x}$ rispetto a $k$ è $\sqrt{x} \frac{d}{d k} [k]$ .

$\sqrt{x} \frac{d}{d k} [k] + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ è $n k^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sqrt{x} \cdot 1 + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Passaggio 2.3

Moltiplica $\sqrt{x}$ per $1$ .

$\sqrt{x} + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$ .

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{k}$ come $k^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{x} + \frac{d}{d k} [x k^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $k$ , la derivata di $x k^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $k$ è $x \frac{d}{d k} [k^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sqrt{x} + x \frac{d}{d k} [k^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ è $n k^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 3.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 3.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 3.9

$\frac{1}{2}$ e $k^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{x} + x \frac{k^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 3.10

$x$ e $\frac{k^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\sqrt{x} + \frac{x k^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 3.11

Sposta $k^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{x} + \frac{x}{2 k^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4

Riordina i termini.

$\frac{x}{2 k^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x}$