Calcolo Esempi

$y = x^{\cot (x)}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $x^{\cot (x)}$ come $e^{\ln (x^{\cot (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\cot (x)})}]$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln (x^{\cot (x)})$ spostando $\cot (x)$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\cot (x) \ln (x)}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \cot (x) \ln (x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cot (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (x)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cot (x) \ln (x)$ .

$e^{\cot (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (x)]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\cot (x) \ln (x)} (\cot (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Passaggio 4

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$e^{\cot (x) \ln (x)} (\cot (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Passaggio 5

$\cot (x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{\cot (x) \ln (x)} (\frac{\cot (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Passaggio 6

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$e^{\cot (x) \ln (x)} (\frac{\cot (x)}{x} + \ln (x) (- \csc^{2} (x)))$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{\cot (x) \ln (x)} \frac{\cot (x)}{x} + e^{\cot (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \csc^{2} (x)))$

Passaggio 7.2

$e^{\cot (x) \ln (x)}$ e $\frac{\cot (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\cot (x) \ln (x)} \cot (x)}{x} + e^{\cot (x) \ln (x)} \ln (x) (- \csc^{2} (x))$

Passaggio 7.3

Riordina i termini.

$- e^{\cot (x) \ln (x)} \csc^{2} (x) \ln (x) + \frac{e^{\cot (x) \ln (x)} \cot (x)}{x}$