Calcolo Esempi

$\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$ rispetto a $y$ è $2 x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$ .

$2 x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ come ${(x^{2} + y^{2})}^{- 1}$ .

$2 x \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = x^{2} + y^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + y^{2}$ .

$2 x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$2 x (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]))$

Passaggio 3.3

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]))$

Passaggio 3.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.6.1

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x^{2} + y^{2})}^{- 2}$ .

$- 2 x (2 \cdot {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} y)$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 4 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} y)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 x (\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} y)$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ e $y$ .

$- 4 x \frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

$- 4$ e $\frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$x \frac{- 4 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.2.3

$x$ e $\frac{- 4 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$\frac{x (- 4 y)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x \cdot 4 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.2.5

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$- \frac{4 x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$