Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0^{+}} {(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$ come $e^{\ln ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})$ spostando $\frac{1}{x}$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{1}{x} \ln (1 + x)}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \ln (1 + x)}$

Passaggio 2.2

$\frac{1}{x}$ e $\ln (1 + x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x)}{x}}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (1 + x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 3.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1.2.1.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 1 + x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Passaggio 3.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.1.2.3.1

Somma $1$ e $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x)}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 + x$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $\frac{1}{1 + x}$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.8

Riordina i termini.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{1}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x + 1} \cdot 1}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $\frac{1}{x + 1}$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x + 1}}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Passaggio 4.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1}}$

Passaggio 4.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Passaggio 5

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{1}{0 + 1}}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1

Somma $0$ e $1$ .

$e^{\frac{1}{1}}$

Passaggio 6.2

Dividi $1$ per $1$ .

$e^{1}$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$e$