Calcolo Esempi

$\frac{- 4}{x^{3}} + \frac{1}{x}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{- 4}{x^{3}} + \frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{- 4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- 4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{- 4}{x^{3}}]$ .

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.2

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3}$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$- 4 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 4 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Passaggio 2.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$- 4 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 4 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.8

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.8.1

Sposta $x^{2}$ .

$- 4 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.8.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 4 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.8.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$- 4 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.9

Moltiplica $- 3$ per $- 4$ .

$12 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$12 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$12 x^{- 4} - x^{- 2}$

Passaggio 4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 \frac{1}{x^{4}} - x^{- 2}$

Passaggio 5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 \frac{1}{x^{4}} - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

$12$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{12}{x^{4}} - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 6.2

Riordina i termini.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{12}{x^{4}}$