Calcolo Esempi

$\int \frac{3}{x^{2} + 3 x} d x$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \frac{1}{x^{2} + 3 x} d x$

Passaggio 2

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

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Passaggio 2.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2} + 3 x$ .

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Passaggio 2.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot x + 3 x}$

Passaggio 2.1.1.2

Scomponi $x$ da $3 x$ .

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot 3}$

Passaggio 2.1.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 3$ .

$\frac{1}{x (x + 3)}$

Passaggio 2.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 3}$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (x + 3)$ .

$\frac{1 (x (x + 3))}{x (x + 3)} = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 2.1.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x (x + 3))}{x (x + 3)} = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (x + 3)}{x + 3} = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 2.1.5

Elimina il fattore comune di $x + 3$ .

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Passaggio 2.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x + 3)}{x + 3} = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 2.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 2.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 2.1.6.1.2

Dividi $A (x + 3)$ per $1$ .

$1 = A (x + 3) + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 2.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 2.1.6.3

Sposta $3$ alla sinistra di $A$ .

$1 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 2.1.6.4

Elimina il fattore comune di $x + 3$ .

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Passaggio 2.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A x + 3 A + \frac{B (x (x + 3))}{x + 3}$

Passaggio 2.1.6.4.2

Dividi $(B) (x)$ per $1$ .

$1 = A x + 3 A + (B) (x)$

$1 = A x + 3 A + B x$

Passaggio 2.1.7

Sposta $3 A$ .

$1 = A x + B x + 3 A$

Passaggio 2.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 2.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 2.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = 3 A$

Passaggio 2.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$1 = 3 A$

$0 = A + B$

$1 = 3 A$

Passaggio 2.3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 2.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = 3 A$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $3 A = 1$ .

$3 A = 1$

$0 = A + B$

Passaggio 2.3.1.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 A = 1$ e semplifica.

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Passaggio 2.3.1.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 A = 1$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

Passaggio 2.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 2.3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

Passaggio 2.3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

Passaggio 2.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $\frac{1}{3}$ in ogni equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + B$ con $\frac{1}{3}$ .

$0 = (\frac{1}{3}) + B$

$A = \frac{1}{3}$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

Passaggio 2.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = \frac{1}{3} + B$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{3} + B = 0$ .

$\frac{1}{3} + B = 0$

$A = \frac{1}{3}$

Passaggio 2.3.3.2

Sottrai $\frac{1}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Passaggio 2.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = - \frac{1}{3} A = \frac{1}{3}$

Passaggio 2.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = - \frac{1}{3}, A = \frac{1}{3}$

Passaggio 2.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 3}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{x} + \frac{- \frac{1}{3}}{x + 3}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{1}{3}}{x + 3}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3 x} + \frac{- \frac{1}{3}}{x + 3}$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{3 x} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x + 3}$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $\frac{1}{x + 3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3 x} - \frac{1}{(x + 3) \cdot 3}$

Passaggio 2.5.5

Sposta $3$ alla sinistra di $x + 3$ .

$3 \int \frac{1}{3 x} - \frac{1}{3 (x + 3)} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$3 (\int \frac{1}{3 x} d x + \int - \frac{1}{3 (x + 3)} d x)$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{3 (x + 3)} d x)$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$3 (\frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{1}{3 (x + 3)} d x)$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{1}{3 (x + 3)} d x)$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{x + 3} d x))$

Passaggio 8

Sia $u = x + 3$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 8.1

Sia $u = x + 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 8.1.1

Differenzia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 8.1.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 8.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$3 (\frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$3 (\frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C))$

Passaggio 10

Semplifica.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| x |) - \frac{1}{3} \ln (| u |)) + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| x |) - \frac{1}{3} \ln (| x + 3 |)) + C$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.1.1

$\frac{1}{3}$ e $\ln (| x |)$ .

$3 (\frac{\ln (| x |)}{3} - \frac{1}{3} \ln (| x + 3 |)) + C$

Passaggio 12.1.2

$\ln (| x + 3 |)$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{\ln (| x |)}{3} - \frac{\ln (| x + 3 |)}{3}) + C$

Passaggio 12.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 \frac{\ln (| x |) - \ln (| x + 3 |)}{3} + C$

Passaggio 12.3

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$3 \frac{\ln (\frac{| x |}{| x + 3 |})}{3} + C$

Passaggio 12.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 12.4.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{\ln (\frac{| x |}{| x + 3 |})}{3} + C$

Passaggio 12.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (\frac{| x |}{| x + 3 |}) + C$