Calcolo Esempi

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - x - 6}{4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - x - 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Passaggio 1.1.2.3

Calcola il limite di $6$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite inserendo $3$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{3^{2} - lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{3^{2} - 3 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{9 - 3 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Passaggio 1.1.2.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{9 - 3 - 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Sottrai $3$ da $9$ .

$\frac{6 - 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Passaggio 1.1.2.5.3

Sottrai $6$ da $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1}}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{0}{4 - lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1}}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + 1}}$

Passaggio 1.1.3.1.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + lim_{x \to 3} 1}}$

Passaggio 1.1.3.1.5

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1}}$

Passaggio 1.1.3.1.6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + 1}}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{5 \cdot 3 + 1}}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{15 + 1}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Somma $15$ e $1$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{16}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.3

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{4^{2}}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.3.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - x - 6}{4 - \sqrt{5 x + 1}} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Passaggio 1.3.6

Somma $2 x - 1$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Passaggio 1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - \sqrt{5 x + 1}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]}$

Passaggio 1.3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]$ .

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Passaggio 1.3.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5 x + 1}$ come ${(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 + \frac{d}{d x} [- {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Passaggio 1.3.9.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Passaggio 1.3.9.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 5 x + 1$ .

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Passaggio 1.3.9.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x + 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 1])}$

Passaggio 1.3.9.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 1])}$

Passaggio 1.3.9.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x + 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 1])}$

Passaggio 1.3.9.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]))}$

Passaggio 1.3.9.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}$

Passaggio 1.3.9.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))}$

Passaggio 1.3.9.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + 0))}$

Passaggio 1.3.9.8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Passaggio 1.3.9.9

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Passaggio 1.3.9.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Passaggio 1.3.9.11

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.9.11.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Passaggio 1.3.9.11.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Passaggio 1.3.9.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Passaggio 1.3.9.13

Moltiplica $5$ per $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (5 + 0))}$

Passaggio 1.3.9.14

Somma $5$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5)}$

Passaggio 1.3.9.15

$\frac{1}{2}$ e ${(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{{(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 5)}$

Passaggio 1.3.9.16

$\frac{{(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $5$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{{(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5}{2}}$

Passaggio 1.3.9.17

Sposta $5$ alla sinistra di ${(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{5 \cdot {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Passaggio 1.3.9.18

Sposta ${(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{5}{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 1.3.10

Sottrai $\frac{5}{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ da $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{- \frac{5}{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 3} (2 x - 1) (- \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5})$

Passaggio 1.5

Riscrivi ${(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{5 x + 1}$ .

$lim_{x \to 3} (2 x - 1) (- \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5})$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- lim_{x \to 3} (2 x - 1) \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

Passaggio 2.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$- lim_{x \to 3} 2 x - 1 \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

Passaggio 2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$- (lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 1) \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

Passaggio 2.4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- (2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 1) \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

Passaggio 2.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

Passaggio 2.6

Sposta il termine $\frac{2}{5}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1}$

Passaggio 2.7

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + 1}$

Passaggio 2.8

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + lim_{x \to 3} 1}$

Passaggio 2.9

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1}$

Passaggio 2.10

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + 1}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $3$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$- (2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + 1}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$- (2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- (6 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- (6 - 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Passaggio 4.2

Sottrai $1$ da $6$ .

$- 1 \cdot 5 \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scomponi $5$ da $- 1 \cdot 5$ .

$5 \cdot - 1 \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Passaggio 4.3.2

Elimina il fattore comune.

$5 \cdot - 1 \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Passaggio 4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot 2 \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $5$ per $3$ .

$- 2 \sqrt{15 + 1}$

Passaggio 4.6

Somma $15$ e $1$ .

$- 2 \sqrt{16}$

Passaggio 4.7

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$- 2 \sqrt{4^{2}}$

Passaggio 4.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$- 2 \cdot 4$

Passaggio 4.9

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$- 8$