Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - x^{2} + 5$ , $a = - 3$

Passaggio 1

Considera la funzione usata per trovare la linearizzazione in $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Passaggio 2

Sostituisci il valore di $a = - 3$ nella funzione di linearizzazione.

$L (x) = f (- 3) + f' (- 3) (x - - 3)$

Passaggio 3

Calcola $f (- 3)$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = {(- 3)}^{3} - {(- 3)}^{2} + 5$

Passaggio 3.2

Semplifica ${(- 3)}^{3} - {(- 3)}^{2} + 5$ .

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Passaggio 3.2.1

Rimuovi le parentesi.

${(- 3)}^{3} - {(- 3)}^{2} + 5$

Passaggio 3.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$- 27 - {(- 3)}^{2} + 5$

Passaggio 3.2.2.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$- 27 - 1 \cdot 9 + 5$

Passaggio 3.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$- 27 - 9 + 5$

Passaggio 3.2.3

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 3.2.3.1

Sottrai $9$ da $- 27$ .

$- 36 + 5$

Passaggio 3.2.3.2

Somma $- 36$ e $5$ .

$- 31$

Passaggio 4

Trova la derivata e calcolala con $- 3$ .

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Passaggio 4.1

Trova la derivata di $f (x) = x^{3} - x^{2} + 5$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia.

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Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - x^{2} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} - 2 x + 0$

Passaggio 4.1.3.2

Somma $3 x^{2} - 2 x$ e $0$ .

$3 x^{2} - 2 x$

Passaggio 4.2

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$3 {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3$

Passaggio 4.3

Semplifica.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$3 \cdot 9 - 2 \cdot - 3$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $3$ per $9$ .

$27 - 2 \cdot - 3$

Passaggio 4.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$27 + 6$

Passaggio 4.3.2

Somma $27$ e $6$ .

$33$

Passaggio 5

Sostituisci i componenti nella funzione di linearizzazione per trovare la linearizzazione a $a$ .

$L (x) = - 31 + 33 (x - - 3)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$L (x) = - 31 + 33 x + 33 \cdot 3$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $33$ per $3$ .

$L (x) = - 31 + 33 x + 99$

Passaggio 6.2

Somma $- 31$ e $99$ .

$L (x) = 33 x + 68$

Passaggio 7