Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{2} - x^{4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} - x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x - (4 x^{3})$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$4 x - 4 x^{3}$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$- 4 x^{3} + 4 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 x^{3} + 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 4 x^{3} + 4 x = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} - x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (x) = 4 x + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 4 x - \frac{d}{d x} x^{4}$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x - (4 x^{3})$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (x) = 4 x - 4 x^{3}$

Passaggio 4.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 4 x$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 x^{3} + 4 x$ .

$- 4 x^{3} + 4 x$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 4 x^{3} + 4 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 4 x^{3} + 4 x = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $- 4 x$ da $- 4 x^{3} + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $- 4 x$ da $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} + 4 x = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $- 4 x$ da $4 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 1 = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $- 4 x$ da $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 1)$ .

$- 4 x (x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$- 4 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 5.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 4 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 5.6

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 4 x (x + 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 0, - 1, 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - 1, 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(0)}^{2} + 4$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 12 \cdot 0 + 4$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 12$ per $0$ .

$0 + 4$

Passaggio 9.2

Somma $0$ e $4$ .

$4$

Passaggio 10

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 2 {(0)}^{2} - {(0)}^{4}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - {(0)}^{4}$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{4}$

Passaggio 11.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 0$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 11.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(- 1)}^{2} + 4$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 12 \cdot 1 + 4$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$- 12 + 4$

Passaggio 13.2

Somma $- 12$ e $4$ .

$- 8$

Passaggio 14

$x = - 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{4}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 - {(- 1)}^{4}$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (- 1) = 2 - {(- 1)}^{4}$

Passaggio 15.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.3.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- 1) = 2 + (- 1) {(- 1)}^{4}$

Passaggio 15.2.1.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 1) = 2 + {(- 1)}^{1 + 4}$

Passaggio 15.2.1.3.2

Somma $1$ e $4$ .

$f (- 1) = 2 + {(- 1)}^{5}$

Passaggio 15.2.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f (- 1) = 2 - 1$

Passaggio 15.2.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (- 1) = 1$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(1)}^{2} + 4$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 12 \cdot 1 + 4$

Passaggio 17.1.2

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$- 12 + 4$

Passaggio 17.2

Somma $- 12$ e $4$ .

$- 8$

Passaggio 18

$x = 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un massimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 2 {(1)}^{2} - {(1)}^{4}$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 2 \cdot 1 - {(1)}^{4}$

Passaggio 19.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (1) = 2 - {(1)}^{4}$

Passaggio 19.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 2 - 1 \cdot 1$

Passaggio 19.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = 2 - 1$

Passaggio 19.2.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (1) = 1$

Passaggio 19.2.3

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 x^{2} - x^{4}$ .

$(0, 0)$ è un minimo locale

$(- 1, 1)$ è un massimo locale

$(1, 1)$ è un massimo locale

Passaggio 21