Calcolo Esempi

$y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2} = - 4$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}) = \frac{d}{d y} (- 4)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

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Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 y^{2} + 2 y + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d y} [- 5 y]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 5 y$ rispetto a $y$ è $- 5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (2 u \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (2 x \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (2 x x')$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - 2 x x'$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$3 y^{2} - 2 x x' + 2 y - 5$

Passaggio 3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 y^{2} - 2 x x' + 2 y - 5 = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $3 y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x x' + 2 y - 5 = - 3 y^{2}$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x x' - 5 = - 3 y^{2} - 2 y$

Passaggio 5.1.3

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x x' = - 3 y^{2} - 2 y + 5$

Passaggio 5.2

Dividi per $- 2 x$ ciascun termine in $- 2 x x' = - 3 y^{2} - 2 y + 5$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Dividi per $- 2 x$ ciascun termine in $- 2 x x' = - 3 y^{2} - 2 y + 5$ .

$\frac{- 2 x x'}{- 2 x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

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Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x x'}{- 2 x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x x'}{x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x x'}{x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.3.1.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

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Passaggio 5.2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{y}{x} + \frac{5}{- 2 x}$

Passaggio 5.2.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{y}{x} - \frac{5}{2 x}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{y}{x} - \frac{5}{2 x}$