Calcolo Esempi

$\int {(3 x^{2} - 4 x + 2)}^{4} (3 x - 2) d x$

Passaggio 1

Sia $u = 3 x^{2} - 4 x + 2$ . Allora $d u = (6 x - 4) d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = (3 x - 2) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 3 x^{2} - 4 x + 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 2]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 4 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$6 x - 4 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x - 4 + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $6 x - 4$ e $0$ .

$6 x - 4$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{4} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$u^{4}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u^{4}}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int u^{4} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ come $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$

Passaggio 5.2

Riscrivi $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ come $\frac{1}{10} u^{5} + C$ .

$\frac{1}{10} u^{5} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$\frac{1}{10} {(3 x^{2} - 4 x + 2)}^{5} + C$