Calcolo Esempi

$\frac{{(x - 8)}^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 8)}^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 8$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 8$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci i valori di $h$ e $k$ .

$(8, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi usando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(8)}^{2} - {(4)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{64 - {(4)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{64 - 1 \cdot 16}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$\sqrt{64 - 16}$

Passaggio 5.3.4

Sottrai $16$ da $64$ .

$\sqrt{48}$

Passaggio 5.3.5

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$\sqrt{16 (3)}$

Passaggio 5.3.5.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Passaggio 5.3.6

Estrai i termini dal radicale.

$4 \sqrt{3}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(8, 0 + 8)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(8, 8)$

Passaggio 6.4

Si può trovare il secondo vertice di un'ellissi sottraendo $a$ da $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(8, 0 - (8))$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(8, - 8)$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(8, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(8, - 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(8, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(8, - 8)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(8, 0 + 4 \sqrt{3})$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$(8, 4 \sqrt{3})$

Passaggio 7.4

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(8, 0 - (4 \sqrt{3}))$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$(8, - 4 \sqrt{3})$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(8, 4 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(8, - 4 \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(8, 4 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(8, - 4 \sqrt{3})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\frac{\sqrt{{(8)}^{2} - {(4)}^{2}}}{8}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{64 - 4^{2}}}{8}$

Passaggio 8.3.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{64 - 1 \cdot 16}}{8}$

Passaggio 8.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$\frac{\sqrt{64 - 16}}{8}$

Passaggio 8.3.1.4

Sottrai $16$ da $64$ .

$\frac{\sqrt{48}}{8}$

Passaggio 8.3.1.5

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.5.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$\frac{\sqrt{16 (3)}}{8}$

Passaggio 8.3.1.5.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 3}}{8}$

Passaggio 8.3.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{4 \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 8.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Scomponi $4$ da $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 (\sqrt{3})}{8}$

Passaggio 8.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \sqrt{3}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(8, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(8, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(8, - 8)$

${Focus}_{1}$ : $(8, 4 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(8, - 4 \sqrt{3})$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 10