Calcolo Esempi

$y = \cos (x + y)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\cos (x + y))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + y$ .

$- \sin (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- \sin (x + y) (1 + y')$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \sin (x + y) (1 + y')$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Semplifica $- \sin (x + y) (1 + y')$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y' = - \sin (x + y) \cdot 1 - \sin (x + y) y'$

Passaggio 5.1.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y' = - \sin (x + y) - \sin (x + y) y'$

Passaggio 5.1.1.2.2

Riordina i fattori in $- \sin (x + y) - \sin (x + y) y'$ .

$y' = - \sin (x + y) - y' \sin (x + y)$

Passaggio 5.2

Somma $y' \sin (x + y)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y' + y' \sin (x + y) = - \sin (x + y)$

Passaggio 5.3

Scomponi $y'$ da $y' + y' \sin (x + y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $y'$ da ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 + y' \sin (x + y) = - \sin (x + y)$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y'$ da $y' \sin (x + y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (\sin (x + y)) = - \sin (x + y)$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y'$ da $y' \cdot 1 + y' (\sin (x + y))$ .

$y' (1 + \sin (x + y)) = - \sin (x + y)$

Passaggio 5.4

Dividi per $1 + \sin (x + y)$ ciascun termine in $y' (1 + \sin (x + y)) = - \sin (x + y)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $1 + \sin (x + y)$ ciascun termine in $y' (1 + \sin (x + y)) = - \sin (x + y)$ .

$\frac{y' (1 + \sin (x + y))}{1 + \sin (x + y)} = \frac{- \sin (x + y)}{1 + \sin (x + y)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $1 + \sin (x + y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (1 + \sin (x + y))}{1 + \sin (x + y)} = \frac{- \sin (x + y)}{1 + \sin (x + y)}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- \sin (x + y)}{1 + \sin (x + y)}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{\sin (x + y)}{1 + \sin (x + y)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sin (x + y)}{1 + \sin (x + y)}$