Calcolo Esempi

$\int \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} d x$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \frac{x^{2}}{1 + x^{3}} d x$

Passaggio 2

Riscrivi $x^{3}$ come ${(x^{3})}^{1}$ .

$3 \int \frac{x^{2}}{1 + {(x^{3})}^{1}} d x$

Passaggio 3

Sia $u_{1} = x^{3}$ . Allora $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u_{1} = x^{3}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$3 \int \frac{1}{1 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica.

$3 \int \frac{1}{1 + u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{1}{1 + u_{1}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{1}{(1 + u_{1}) \cdot 3} d u_{1}$

Passaggio 4.3

Sposta $3$ alla sinistra di $1 + u_{1}$ .

$3 \int \frac{1}{3 (1 + u_{1})} d u_{1}$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$ per $1$ .

$\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 7

Sia $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Allora $d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Passaggio 7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 7.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $1$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 7.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 7.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 9

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + u_{1}$ .

$\ln (| 1 + u_{1} |) + C$

Passaggio 9.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{3}$ .

$\ln (| 1 + x^{3} |) + C$