Calcolo Esempi

$lim_{x \to π} \frac{\sin (x)}{x - π}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to π} \sin (x)}{lim_{x \to π} x - π}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} x - π}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $π$ per $x$ .

$\frac{\sin (π)}{lim_{x \to π} x - π}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to π} x - π}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} x - π}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} x - lim_{x \to π} π}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $π$ che è costante, mentre $x$ tende a $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} x - π}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $π$ per $x$ .

$\frac{0}{π - π}$

Passaggio 1.1.3.3

Sottrai $π$ da $π$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to π} \frac{\sin (x)}{x - π} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - π$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $- π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- π$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{1 + 0}$

Passaggio 1.3.6

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$lim_{x \to π} \cos (x)$

Passaggio 2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\cos (lim_{x \to π} x)$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $π$ per $x$ .

$\cos (π)$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- \cos (0)$

Passaggio 4.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$