Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x e^{3 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{3 x}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$4 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$4 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.4.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$4 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.4.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$4 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1)$

Passaggio 1.1.4.5

Moltiplica $e^{3 x}$ per $1$ .

$4 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x})$

Passaggio 1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x (3 e^{3 x})) + 4 e^{3 x}$

Passaggio 1.1.5.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x e^{3 x} + 4 e^{3 x}$

Passaggio 1.1.5.3

Riordina i termini.

$12 e^{3 x} x + 4 e^{3 x}$

Passaggio 1.1.5.4

Riordina i fattori in $12 e^{3 x} x + 4 e^{3 x}$ .

$f' (x) = 12 x e^{3 x} + 4 e^{3 x}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x e^{3 x} + 4 e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x e^{3 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{3 x}$ .

$12 (x \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Passaggio 1.2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x$ .

$12 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Passaggio 1.2.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$12 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Passaggio 1.2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x$ .

$12 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Passaggio 1.2.2.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Passaggio 1.2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Passaggio 1.2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Passaggio 1.2.2.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$12 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Passaggio 1.2.2.8

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$12 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Passaggio 1.2.2.9

Moltiplica $e^{3 x}$ per $1$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 1.2.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 1.2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 1.2.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

Passaggio 1.2.3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (e^{3 x} \cdot 3)$

Passaggio 1.2.3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (3 \cdot e^{3 x})$

Passaggio 1.2.3.7

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 e^{3 x}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$12 (x (3 e^{3 x})) + 12 e^{3 x} + 12 e^{3 x}$

Passaggio 1.2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Moltiplica $3$ per $12$ .

$36 (x (e^{3 x})) + 12 e^{3 x} + 12 e^{3 x}$

Passaggio 1.2.4.2.2

Somma $12 e^{3 x}$ e $12 e^{3 x}$ .

$36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x}$

Passaggio 1.2.4.3

Riordina i termini.

$36 e^{3 x} x + 24 e^{3 x}$

Passaggio 1.2.4.4

Riordina i fattori in $36 e^{3 x} x + 24 e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x}$ .

$36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $12 e^{3 x}$ da $36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $12 e^{3 x}$ da $36 x e^{3 x}$ .

$12 e^{3 x} (3 x) + 24 e^{3 x} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $12 e^{3 x}$ da $24 e^{3 x}$ .

$12 e^{3 x} (3 x) + 12 e^{3 x} (2) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $12 e^{3 x}$ da $12 e^{3 x} (3 x) + 12 e^{3 x} (2)$ .

$12 e^{3 x} (3 x + 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{3 x} = 0$

$3 x + 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $e^{3 x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $e^{3 x}$ uguale a $0$ .

$e^{3 x} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $e^{3 x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{3 x}) = \ln (0)$

Passaggio 2.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{3 x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.5

Imposta $3 x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $3 x + 2$ uguale a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $3 x + 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 2$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 2$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 2.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2}{3}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 e^{3 x} (3 x + 2) = 0$ vera.

$x = - \frac{2}{3}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- \frac{2}{3}$ in $f (x) = 4 x e^{3 x}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{2}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{2}{3}) = 4 (- \frac{2}{3}) \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Moltiplica $4 (- \frac{2}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - 4 (\frac{2}{3}) \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 3.1.2.1.2

$- 4$ e $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 4 \cdot 2}{3} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8}{3} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 3.1.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 3.1.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{3}$ nel numeratore.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3} \cdot e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3} \cdot e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

Passaggio 3.1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3} \cdot e^{- 2}$

Passaggio 3.1.2.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{e^{2}}$

Passaggio 3.1.2.5

Moltiplica $\frac{1}{e^{2}}$ per $\frac{8}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{e^{2} \cdot 3}$

Passaggio 3.1.2.6

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{2}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3 e^{2}}$

Passaggio 3.1.2.7

La risposta finale è $- \frac{8}{3 e^{2}}$ .

$- \frac{8}{3 e^{2}}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $- \frac{2}{3}$ in $f (x) = 4 x e^{3 x}$ è $(- \frac{2}{3}, - \frac{8}{3 e^{2}})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \frac{2}{3}, - \frac{8}{3 e^{2}})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{2}{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.7\overline{6}$ nell'espressione.

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 36 (- 0.7\overline{6}) \cdot e^{3 (- 0.7\overline{6})} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $36$ per $- 0.7\overline{6}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 27.6 \cdot e^{3 (- 0.7\overline{6})} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $3$ per $- 0.7\overline{6}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 27.6 \cdot e^{- 2.2\overline{9}} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Passaggio 5.2.1.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 27.6 \cdot \frac{1}{e^{2.2\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Passaggio 5.2.1.4

$- 27.6$ e $\frac{1}{e^{2.2\overline{9}}}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = \frac{- 27.6}{e^{2.2\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Passaggio 5.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - \frac{27.6}{e^{2.2\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Passaggio 5.2.1.6

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - \frac{27.6}{{2.71828182}^{2.2\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Passaggio 5.2.1.7

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $2.2\overline{9}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - \frac{27.6}{9.97418245} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Passaggio 5.2.1.8

Dividi $27.6$ per $9.97418245$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 1 \cdot 2.76714408 + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Passaggio 5.2.1.9

Moltiplica $- 1$ per $2.76714408$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 2.76714408 + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Passaggio 5.2.1.10

Moltiplica $3$ per $- 0.7\overline{6}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 2.76714408 + 24 e^{- 2.2\overline{9}}$

Passaggio 5.2.1.11

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 2.76714408 + 24 (\frac{1}{e^{2.2\overline{9}}})$

Passaggio 5.2.1.12

$24$ e $\frac{1}{e^{2.2\overline{9}}}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 2.76714408 + \frac{24}{e^{2.2\overline{9}}}$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 2.76714408$ e $\frac{24}{e^{2.2\overline{9}}}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 0.36093183$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 0.36093183$ .

$- 0.36093183$

Passaggio 5.3

Per $- 0.7\overline{6}$ , la derivata seconda è $- 0.36093183$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - \frac{2}{3})$ .

Decrescente su $(- \infty, - \frac{2}{3})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \frac{2}{3}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.5\overline{6}$ nell'espressione.

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 36 (- 0.5\overline{6}) \cdot e^{3 (- 0.5\overline{6})} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $36$ per $- 0.5\overline{6}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 20.4 \cdot e^{3 (- 0.5\overline{6})} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $3$ per $- 0.5\overline{6}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 20.4 \cdot e^{- 1.6\overline{9}} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Passaggio 6.2.1.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 20.4 \cdot \frac{1}{e^{1.6\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Passaggio 6.2.1.4

$- 20.4$ e $\frac{1}{e^{1.6\overline{9}}}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = \frac{- 20.4}{e^{1.6\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Passaggio 6.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - \frac{20.4}{e^{1.6\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Passaggio 6.2.1.6

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - \frac{20.4}{{2.71828182}^{1.6\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Passaggio 6.2.1.7

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $1.6\overline{9}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - \frac{20.4}{5.47394739} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Passaggio 6.2.1.8

Dividi $20.4$ per $5.47394739$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 1 \cdot 3.72674389 + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Passaggio 6.2.1.9

Moltiplica $- 1$ per $3.72674389$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 3.72674389 + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Passaggio 6.2.1.10

Moltiplica $3$ per $- 0.5\overline{6}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 3.72674389 + 24 e^{- 1.6\overline{9}}$

Passaggio 6.2.1.11

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 3.72674389 + 24 (\frac{1}{e^{1.6\overline{9}}})$

Passaggio 6.2.1.12

$24$ e $\frac{1}{e^{1.6\overline{9}}}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 3.72674389 + \frac{24}{e^{1.6\overline{9}}}$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 3.72674389$ e $\frac{24}{e^{1.6\overline{9}}}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 0.65766068$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $0.65766068$ .

$0.65766068$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- 0.5\overline{6}$ , la derivata seconda è $0.65766068$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \frac{2}{3}, \infty)$ .

Crescente su $(- \frac{2}{3}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(- \frac{2}{3}, - \frac{8}{3 e^{2}})$ .

$(- \frac{2}{3}, - \frac{8}{3 e^{2}})$

Passaggio 8