Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{4 + {(x - 3)}^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x - 3$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x - 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{4 + u^{2}} d u$

Passaggio 2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{2^{2} + u^{2}} d u$

Passaggio 3

L'integrale di $\frac{1}{2^{2} + u^{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} \arctan (\frac{u}{2}) + C$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{u}{2}) + C$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

$\frac{1}{2}$ e $\arctan (\frac{u}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{u}{2})}{2} + C$

Passaggio 4.2

Riscrivi $\frac{\arctan (\frac{u}{2})}{2} + C$ come $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} u) + C$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} u) + C$

Passaggio 5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 3$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} (x - 3)) + C$