Calcolo Esempi

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 1$ .

$2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (x^{2} - 1) (2 x + 0)$

Passaggio 1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 (x^{2} - 1) (2 x)$

Passaggio 1.2.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 (x^{2} - 1) x$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(4 x^{2} + 4 \cdot - 1) x$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x$

Passaggio 1.3.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 1 x$

Passaggio 1.3.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 1 x$

Passaggio 1.3.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$4 x^{3} + 4 \cdot - 1 x$

Passaggio 1.3.3.4

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$4 x^{3} - 4 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$4 x^{3} - 4 x = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Passaggio 4.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

Passaggio 4.1.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 1) (2 x + 0)$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 1) (2 x)$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 1) x$

Passaggio 4.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = (4 x^{2} + 4 \cdot - 1) x$

Passaggio 4.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 4 x^{2} x + 4 \cdot (- 1 x)$

Passaggio 4.1.3.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 4 (x \cdot x^{2}) + 4 \cdot (- 1 x)$

Passaggio 4.1.3.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 4 x^{1 + 2} + 4 \cdot (- 1 x)$

Passaggio 4.1.3.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 \cdot (- 1 x)$

Passaggio 4.1.3.3.4

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 4 x$ .

$4 x^{3} - 4 x$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 4 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 4 x = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3} - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 4 x = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $4 x$ da $- 4 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 1) = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{2}) + 4 x (- 1)$ .

$4 x (x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$4 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 5.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 5.6

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x (x + 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 0, - 1, 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - 1, 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(0)}^{2} - 4$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$12 \cdot 0 - 4$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $12$ per $0$ .

$0 - 4$

Passaggio 9.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$- 4$

Passaggio 10

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {({(0)}^{2} - 1)}^{2}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = {(0 - 1)}^{2}$

Passaggio 11.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$f (0) = {(- 1)}^{2}$

Passaggio 11.2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (0) = 1$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(- 1)}^{2} - 4$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$12 \cdot 1 - 4$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $12$ per $1$ .

$12 - 4$

Passaggio 13.2

Sottrai $4$ da $12$ .

$8$

Passaggio 14

$x = - 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = {({(- 1)}^{2} - 1)}^{2}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = {(1 - 1)}^{2}$

Passaggio 15.2.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (- 1) = 0^{2}$

Passaggio 15.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (- 1) = 0$

Passaggio 15.2.4

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(1)}^{2} - 4$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$12 \cdot 1 - 4$

Passaggio 17.1.2

Moltiplica $12$ per $1$ .

$12 - 4$

Passaggio 17.2

Sottrai $4$ da $12$ .

$8$

Passaggio 18

$x = 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = {({(1)}^{2} - 1)}^{2}$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = {(1 - 1)}^{2}$

Passaggio 19.2.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (1) = 0^{2}$

Passaggio 19.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (1) = 0$

Passaggio 19.2.4

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$(0, 1)$ è un massimo locale

$(- 1, 0)$ è un minimo locale

$(1, 0)$ è un minimo locale

Passaggio 21