Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (4 - x^{2} + 2 x^{4})$ , $x = 1$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$y = \ln (4 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \ln (4 - 1^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Passaggio 1.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = \ln (4 - 1^{2} + 2 \cdot 1^{4})$

Passaggio 1.2.3

Rimuovi le parentesi.

$y = \ln (4 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Passaggio 1.2.4

Semplifica $\ln (4 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = \ln (4 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4})$

Passaggio 1.2.4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y = \ln (4 - 1 + 2 {(1)}^{4})$

Passaggio 1.2.4.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = \ln (4 - 1 + 2 \cdot 1)$

Passaggio 1.2.4.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \ln (4 - 1 + 2)$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Sottrai $1$ da $4$ .

$y = \ln (3 + 2)$

Passaggio 1.2.4.2.2

Somma $3$ e $2$ .

$y = \ln (5)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = \ln (5)$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 4 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - x^{2} + 2 x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Passaggio 2.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Passaggio 2.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Passaggio 2.2.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{4}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 2.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 (4 x^{3}))$

Passaggio 2.2.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$

Passaggio 2.2.9.2

Riordina i fattori di $\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$ .

$(- 2 x + 8 x^{3}) \frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}}$

Passaggio 2.3

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) (\frac{1}{4 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4}})$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{4 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{4 - 1 + 2 {(1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{4 - 1 + 2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{4 - 1 + 2}$

Passaggio 2.4.1.5

Sottrai $1$ da $4$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{3 + 2}$

Passaggio 2.4.1.6

Somma $3$ e $2$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{5}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$(- 2 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{5}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(- 2 + 8 \cdot 1) \frac{1}{5}$

Passaggio 2.4.2.1.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$(- 2 + 8) \frac{1}{5}$

Passaggio 2.4.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Somma $- 2$ e $8$ .

$6 (\frac{1}{5})$

Passaggio 2.4.2.2.2

$6$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{6}{5}$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{6}{5}$ e un punto dato $(1, \ln (5))$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\ln (5)) = \frac{6}{5} \cdot (x - (1))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \ln (5) = \frac{6}{5} \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $\frac{6}{5} \cdot (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - \ln (5) = 0 + 0 + \frac{6}{5} \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - \ln (5) = \frac{6}{5} \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - \ln (5) = \frac{6}{5} x + \frac{6}{5} \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.4

$\frac{6}{5}$ e $x$ .

$y - \ln (5) = \frac{6 x}{5} + \frac{6}{5} \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.5

Moltiplica $\frac{6}{5} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1

$\frac{6}{5}$ e $- 1$ .

$y - \ln (5) = \frac{6 x}{5} + \frac{6 \cdot - 1}{5}$

Passaggio 3.3.1.5.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$y - \ln (5) = \frac{6 x}{5} + \frac{- 6}{5}$

Passaggio 3.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - \ln (5) = \frac{6 x}{5} - \frac{6}{5}$

Passaggio 3.3.2

Somma $\ln (5)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{6}{5} + \ln (5)$

Passaggio 3.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per scrivere $\ln (5)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{6}{5} + \ln (5) \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 3.3.3.2

$\ln (5)$ e $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{6}{5} + \frac{\ln (5) \cdot 5}{5}$

Passaggio 3.3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 6 + \ln (5) \cdot 5}{5}$

Passaggio 3.3.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.4.1

Moltiplica $\ln (5) \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.4.1.1

Riordina $\ln (5)$ e $5$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 6 + 5 \cdot \ln (5)}{5}$

Passaggio 3.3.3.4.1.2

Semplifica $5 \cdot \ln (5)$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 6 + \ln (5^{5})}{5}$

Passaggio 3.3.3.4.2

Eleva $5$ alla potenza di $5$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 6 + \ln (3125)}{5}$

Passaggio 3.3.3.5

Riscrivi $- 6$ come $- 1 (6)$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 1 (6) + \ln (3125)}{5}$

Passaggio 3.3.3.6

Scomponi $- 1$ da $\ln (3125)$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 1 (6) - 1 (- \ln (3125))}{5}$

Passaggio 3.3.3.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (6) - 1 (- \ln (3125))$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 1 (6 - \ln (3125))}{5}$

Passaggio 3.3.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{6 - \ln (3125)}{5}$

Passaggio 3.3.3.9

Riordina i termini.

$y = \frac{6}{5} x - \frac{6 - \ln (3125)}{5}$

Passaggio 4