Calcolo Esempi

$y = {(\frac{x}{1 + x})}^{5}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = \frac{x}{1 + x}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{1 + x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{1 + x}$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 1 + x$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{(1 + x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $1 + x$ per $1$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $x$ da $x$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + 0}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 3.7.3

Somma $1$ e $0$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 3.7.4

$\frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$ e $5$ .

$\frac{5}{{(1 + x)}^{2}} {(\frac{x}{1 + x})}^{4}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{1 + x}$ .

$\frac{5}{{(1 + x)}^{2}} \cdot \frac{x^{4}}{{(1 + x)}^{4}}$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $\frac{5}{{(1 + x)}^{2}}$ per $\frac{x^{4}}{{(1 + x)}^{4}}$ .

$\frac{5 x^{4}}{{(1 + x)}^{2} {(1 + x)}^{4}}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica ${(1 + x)}^{2}$ per ${(1 + x)}^{4}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.2.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5 x^{4}}{{(1 + x)}^{2 + 4}}$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $2$ e $4$ .

$\frac{5 x^{4}}{{(1 + x)}^{6}}$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$\frac{5 x^{4}}{{(x + 1)}^{6}}$