Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{2} - 4}{x}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} - 4}{x})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 4$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 4)}{x^{2}}$

Passaggio 3.9

Semplifica.

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Passaggio 3.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 4}{x^{2}}$

Passaggio 3.9.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.9.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 4}{x^{2}}$

Passaggio 3.9.2.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4}{x^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{x^{2} + 4}{x^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 4}{x^{2}}$