Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0^{+}} x^{\sin (x)}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $x^{\sin (x)}$ come $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{\sin (x)})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln (x^{\sin (x)})$ spostando $\sin (x)$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\sin (x) \ln (x)}$

Passaggio 2

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \ln (x)}$

Passaggio 3

Riscrivi $\sin (x) \ln (x)$ come $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sin (x)}}}$

Passaggio 4.1.2

Mentre $x$ tende a $0$ da destra, $\ln (x)$ diminuisce senza limite.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sin (x)}}}$

Passaggio 4.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 4.1.3.1

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \csc (x)}}$

Passaggio 4.1.3.2

Per i valori $x$ tendenti a $0$ da destra, i valori della funzione aumentano senza limite.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Passaggio 4.1.3.3

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Passaggio 4.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Passaggio 4.2

Poiché $\frac{- \infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}}$

Passaggio 4.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}}$

Passaggio 4.3.3

Riscrivi $\frac{1}{\sin (x)}$ come $\sin^{- 1} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sin^{- 1} (x)]}}$

Passaggio 4.3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 4.3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

Passaggio 4.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

Passaggio 4.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \sin^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

Passaggio 4.3.5

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \sin^{- 2} (x) \cos (x)}}$

Passaggio 4.3.6

Semplifica.

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Passaggio 4.3.6.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x)}}$

Passaggio 4.3.6.2

$\cos (x)$ e $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin^{2} (x)}{x \cos (x)}}$

Passaggio 4.6

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{x \cos (x)}}$

Passaggio 4.7

Frazioni separate.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 4.8

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{x} \tan (x)}$

Passaggio 4.9

$\frac{\sin (x)}{x}$ e $\tan (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \tan (x)}{x}}$

Passaggio 5

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \tan (x)}{x}}$

Passaggio 6

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 6.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 6.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Passaggio 6.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 6.1.2.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Passaggio 6.1.2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Passaggio 6.1.2.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Passaggio 6.1.2.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 6.1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Passaggio 6.1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Passaggio 6.1.2.5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1.2.5.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Passaggio 6.1.2.5.2

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Passaggio 6.1.2.5.3

Moltiplica $0$ per $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Passaggio 6.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- \frac{0}{0}}$

Passaggio 6.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{- \frac{0}{0}}$

Passaggio 6.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \tan (x)}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 6.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 6.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 6.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 6.3.3

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 6.3.4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 6.3.5

Semplifica.

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Passaggio 6.3.5.1

Riordina i termini.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (x) \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 6.3.5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.3.5.2.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 6.3.5.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 6.3.5.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 6.3.5.2.4

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ e $\sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 6.3.5.2.5

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

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Passaggio 6.3.5.2.5.1

Riordina $\cos (x)$ e $\tan (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \tan (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 6.3.5.2.5.2

Riscrivi $\cos (x) \tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 6.3.5.2.5.3

Elimina i fattori comuni.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 6.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x)}{1}}$

Passaggio 6.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Per scrivere $\sin (x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{1}}$

Passaggio 6.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{1}}$

Passaggio 6.5

Dividi $\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ per $1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Passaggio 7

Calcola il limite.

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Passaggio 7.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Passaggio 7.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Passaggio 7.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Passaggio 7.4

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Passaggio 7.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Passaggio 7.6

Sposta l'esponente $2$ da $\cos^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot {(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Passaggio 7.7

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Passaggio 7.8

Sposta l'esponente $2$ da $\cos^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}}$

Passaggio 7.9

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Passaggio 8

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Passaggio 8.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Passaggio 8.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Passaggio 8.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}}$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$e^{- \frac{0 + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}}$

Passaggio 9.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$e^{- \frac{0 + 0 \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}}$

Passaggio 9.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$e^{- \frac{0 + 0 \cdot 1^{2}}{\cos^{2} (0)}}$

Passaggio 9.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$e^{- \frac{0 + 0 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica $0$ per $1$ .

$e^{- \frac{0 + 0}{\cos^{2} (0)}}$

Passaggio 9.1.6

Somma $0$ e $0$ .

$e^{- \frac{0}{\cos^{2} (0)}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$e^{- \frac{0}{1^{2}}}$

Passaggio 9.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$e^{- \frac{0}{1}}$

Passaggio 9.3

Dividi $0$ per $1$ .

$e^{- 0}$

Passaggio 9.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e^{0}$

Passaggio 10

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1$