Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{u \sqrt{3 - u^{2}}} d u$

Passaggio 1

Sia $u = \sqrt{3} \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d u = \sqrt{3} \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sqrt{3} \cos (t)$ è positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - {(\sqrt{3} \sin (t))}^{2}}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - {(\sqrt{3} \sin (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\sqrt{3} \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - ({\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica per $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi ${\sqrt{3}}^{2}$ da $- ({\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{3}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi ${\sqrt{3}}^{2}$ da ${\sqrt{3}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{3}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{1} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.6.5

Calcola l'esponente.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3 \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3 \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.7

Riordina $3$ e $\cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 3}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) (\cos (t) \sqrt{3})} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{1 + 1} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.5

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 2.2.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{1}{3^{\frac{2}{2}} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{3^{\frac{2}{2}} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{3^{1} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.5.5

Calcola l'esponente.

$\int \frac{1}{3 \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.6

$\sqrt{3}$ e $\frac{1}{3 \sin (t) \cos (t)}$ .

$\int \frac{\sqrt{3}}{3 \sin (t) \cos (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 2.2.7

$\frac{\sqrt{3}}{3 \sin (t) \cos (t)}$ e $\cos (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

Passaggio 2.2.8

Elimina il fattore comune di $\cos (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

Passaggio 2.2.8.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{\sqrt{3}}{3 \sin (t)} d t$

Passaggio 3

Poiché $\frac{\sqrt{3}}{3}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{\sqrt{3}}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Passaggio 4

Converti da $\frac{1}{\sin (t)}$ a $\csc (t)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} \int \csc (t) d t$

Passaggio 5

L'integrale di $\csc (t)$ rispetto a $t$ è $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{u}{\sqrt{3}})$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{u}{\sqrt{3}})) - \cot (\arcsin (\frac{u}{\sqrt{3}})) |) + C$

Passaggio 8

Riordina i termini.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{1}{\sqrt{3}} u)) - \cot (\arcsin (\frac{1}{\sqrt{3}} u)) |) + C$