Calcolo Esempi

$\frac{x + y}{x - y} = x^{2} + y^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\frac{x + y}{x - y}) = \frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + y$ e $g (x) = x - y$ .

$\frac{(x - y) \frac{d}{d x} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x - y) (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1.1

Espandi $(x - y) (1 + y')$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (1 + y') - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1.2.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.1.3

Espandi $(- x - y) (1 - y')$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x (1 - y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.1.4.2

Moltiplica $- x (- y')$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + 1 x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.1.4.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.1.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.1.4.4

Moltiplica $- y (- y')$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1.4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + 1 y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.1.4.4.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.2

Combina i termini opposti in $x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{x y' - y - y y' + 0 + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.2.2

Somma $x y' - y - y y'$ e $0$ .

$\frac{x y' - y - y y' + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.2.3

Somma $- y y'$ e $y y'$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y + 0}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.2.4

Somma $x y' - y + x y' - y$ e $0$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.3

Somma $x y'$ e $x y'$ .

$\frac{2 x y' - y - y}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.4

Sottrai $y$ da $- y$ .

$\frac{2 x y' - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.3

Scomponi $2$ da $2 x y' - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.3.1

Scomponi $2$ da $2 x y'$ .

$\frac{2 (x y') - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.3.2

Scomponi $2$ da $- 2 y$ .

$\frac{2 (x y') + 2 (- y)}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.3.3

Scomponi $2$ da $2 (x y') + 2 (- y)$ .

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Passaggio 3.3

Riordina i termini.

$2 y y' + 2 x$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} = 2 y y' + 2 x$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica ogni lato per ${(x - y)}^{2}$ .

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2} = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di ${(x - y)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2} = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 (x y' - y) = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x y') + 2 (- y) = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 x y' - 2 y = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.3.2

Sposta $x$ .

$2 y' x - 2 y = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $(2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 y' x - 2 y = 2 y y' {(x - y)}^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Sposta $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y {(x - y)}^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Riscrivi ${(x - y)}^{2}$ come $(x - y) (x - y)$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y ((x - y) (x - y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.3.1.2

Espandi $(x - y) (x - y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x (x - y) - y (x - y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.3.1.3.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x - y (- y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.3.1.3.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.3.1.3.1.4

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1.4.1

Sposta $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.3.1.3.1.4.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.3.1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.3.1.3.1.6

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x + y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.3.1.3.2

Sottrai $y x$ da $- x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.2.1

Sposta $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.3.1.3.2.2

Sottrai $x y$ da $- x y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.3.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y (- 2 x y) + 2 y' y \cdot y^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.3.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.5.1

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.5.1.1

Sposta $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' (y \cdot y) (- 2 x) + 2 y' y \cdot y^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.3.1.5.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' y \cdot y^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.3.1.5.2

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.5.2.1

Sposta $y^{2}$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' (y^{2} y) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.3.1.5.2.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.5.2.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' (y^{2} y^{1}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.3.1.5.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' y^{2 + 1} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.3.1.5.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' y^{3} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.3.1.6

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.3.1.7

Riscrivi ${(x - y)}^{2}$ come $(x - y) (x - y)$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x ((x - y) (x - y))$

Passaggio 5.3.1.8

Espandi $(x - y) (x - y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x (x - y) - y (x - y))$

Passaggio 5.3.1.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x \cdot x + x (- y) - y (x - y))$

Passaggio 5.3.1.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y))$

Passaggio 5.3.1.9

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.9.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y))$

Passaggio 5.3.1.9.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x - y (- y))$

Passaggio 5.3.1.9.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y)$

Passaggio 5.3.1.9.1.4

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.9.1.4.1

Sposta $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y))$

Passaggio 5.3.1.9.1.4.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2})$

Passaggio 5.3.1.9.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2})$

Passaggio 5.3.1.9.1.6

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x + y^{2})$

Passaggio 5.3.1.9.2

Sottrai $y x$ da $- x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.9.2.1

Sposta $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2})$

Passaggio 5.3.1.9.2.2

Sottrai $x y$ da $- x y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - 2 x y + y^{2})$

Passaggio 5.3.1.10

Applica la proprietà distributiva.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

Passaggio 5.3.1.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.11.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.11.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 (x^{2} x) + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

Passaggio 5.3.1.11.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.11.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

Passaggio 5.3.1.11.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{2 + 1} + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

Passaggio 5.3.1.11.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

Passaggio 5.3.1.11.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.11.2.1

Sposta $x$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} + 2 (x \cdot x) (- 2 y) + 2 x y^{2}$

Passaggio 5.3.1.11.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} + 2 x^{2} (- 2 y) + 2 x y^{2}$

Passaggio 5.3.1.12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.12.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot - 2 x^{2} y + 2 x y^{2}$

Passaggio 5.3.1.12.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} - 4 x^{2} y + 2 x y^{2}$

Passaggio 5.3.2

Poiché $y'$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} - 4 x^{2} y + 2 x y^{2} = 2 y' x - 2 y$

Passaggio 5.3.3

Sottrai $2 y' x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} - 4 x^{2} y + 2 x y^{2} - 2 y' x = - 2 y$

Passaggio 5.3.4

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Sottrai $2 x^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} - 4 x^{2} y + 2 x y^{2} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3}$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $4 x^{2} y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x y^{2} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y$

Passaggio 5.3.4.3

Sottrai $2 x y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Passaggio 5.3.5

Scomponi $2 y'$ da $2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} - 2 y' x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Scomponi $2 y'$ da $2 y' y x^{2}$ .

$2 y' (y x^{2}) - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Passaggio 5.3.5.2

Scomponi $2 y'$ da $- 4 y' y^{2} x$ .

$2 y' (y x^{2}) + 2 y' (- 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Passaggio 5.3.5.3

Scomponi $2 y'$ da $2 y' y^{3}$ .

$2 y' (y x^{2}) + 2 y' (- 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Passaggio 5.3.5.4

Scomponi $2 y'$ da $- 2 y' x$ .

$2 y' (y x^{2}) + 2 y' (- 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3} + 2 y' (- 1 x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Passaggio 5.3.5.5

Scomponi $2 y'$ da $2 y' (y x^{2}) + 2 y' (- 2 y^{2} x)$ .

$2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3} + 2 y' (- 1 x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Passaggio 5.3.5.6

Scomponi $2 y'$ da $2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3}$ .

$2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3}) + 2 y' (- 1 x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Passaggio 5.3.5.7

Scomponi $2 y'$ da $2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3}) + 2 y' (- 1 x)$ .

$2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - 1 x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Passaggio 5.3.6

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Passaggio 5.3.7

Dividi per $2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)$ ciascun termine in $2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Dividi per $2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)$ ciascun termine in $2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$ .

$\frac{2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} = \frac{- 2 y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Passaggio 5.3.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.3.7.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} = \frac{- 2 y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Passaggio 5.3.7.2.2

Elimina il fattore comune di $y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.2.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.3.7.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Passaggio 5.3.7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 y$ .

$y' = \frac{2 (- y)}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Passaggio 5.3.7.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.3.7.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Passaggio 5.3.7.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Passaggio 5.3.7.3.1.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.3.1.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{3}$ .

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 (- x^{3})}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Passaggio 5.3.7.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.3.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.3.7.3.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Passaggio 5.3.7.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Passaggio 5.3.7.3.1.5

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.3.1.5.1

Scomponi $2$ da $4 x^{2} y$ .

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 (2 x^{2} y)}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Passaggio 5.3.7.3.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.3.1.5.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.3.7.3.1.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Passaggio 5.3.7.3.1.6

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.3.1.6.1

Scomponi $2$ da $- 2 x y^{2}$ .

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 (- x y^{2})}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Passaggio 5.3.7.3.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.3.1.6.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.3.7.3.1.6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Passaggio 5.3.7.3.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Passaggio 5.3.7.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- y - x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Passaggio 5.3.7.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- y - x^{3} + 2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Passaggio 5.3.7.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- y - x^{3} + 2 x^{2} y - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Passaggio 5.3.7.3.2.4

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$y' = \frac{- (y) - x^{3} + 2 x^{2} y - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Passaggio 5.3.7.3.2.5

Scomponi $- 1$ da $- x^{3}$ .

$y' = \frac{- (y) - (x^{3}) + 2 x^{2} y - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Passaggio 5.3.7.3.2.6

Scomponi $- 1$ da $- (y) - (x^{3})$ .

$y' = \frac{- (y + x^{3}) + 2 x^{2} y - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Passaggio 5.3.7.3.2.7

Scomponi $- 1$ da $2 x^{2} y$ .

$y' = \frac{- (y + x^{3}) - (- 2 x^{2} y) - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Passaggio 5.3.7.3.2.8

Scomponi $- 1$ da $- (y + x^{3}) - (- 2 x^{2} y)$ .

$y' = \frac{- (y + x^{3} - 2 x^{2} y) - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Passaggio 5.3.7.3.2.9

Scomponi $- 1$ da $- x y^{2}$ .

$y' = \frac{- (y + x^{3} - 2 x^{2} y) - (x y^{2})}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Passaggio 5.3.7.3.2.10

Scomponi $- 1$ da $- (y + x^{3} - 2 x^{2} y) - (x y^{2})$ .

$y' = \frac{- (y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2})}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Passaggio 5.3.7.3.2.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.3.2.11.1

Riscrivi $- (y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2})$ come $- 1 (y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2})}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Passaggio 5.3.7.3.2.11.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$