Calcolo Esempi

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{6 k (k - 1)}{n^{3}}$

Passaggio 1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $2$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Passaggio 2

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(6) (\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6})$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$6 \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Passaggio 3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$n (n + 1) (2 n + 1)$

Passaggio 3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$(n \cdot n + n \cdot 1) (2 n + 1)$

Passaggio 3.1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Moltiplica $n$ per $n$ .

$(n^{2} + n \cdot 1) (2 n + 1)$

Passaggio 3.1.3.2

Moltiplica $n$ per $1$ .

$(n^{2} + n) (2 n + 1)$

Passaggio 3.2

Espandi $(n^{2} + n) (2 n + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$n^{2} (2 n + 1) + n (2 n + 1)$

Passaggio 3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n + 1)$

Passaggio 3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Passaggio 3.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 n^{2} n + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $n^{2}$ per $n$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1.2.1

Sposta $n$ .

$2 (n \cdot n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $n$ per $n^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.2.1

Eleva $n$ alla potenza di $1$ .

$2 (n^{1} n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Passaggio 3.3.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 n^{1 + 2} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Passaggio 3.3.1.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$2 n^{3} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $n^{2}$ per $1$ .

$2 n^{3} + n^{2} + n (2 n) + n \cdot 1$

Passaggio 3.3.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n \cdot n + n \cdot 1$

Passaggio 3.3.1.5

Moltiplica $n$ per $n$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1.5.1

Sposta $n$ .

$2 n^{3} + n^{2} + 2 (n \cdot n) + n \cdot 1$

Passaggio 3.3.1.5.2

Moltiplica $n$ per $n$ .

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n \cdot 1$

Passaggio 3.3.1.6

Moltiplica $n$ per $1$ .

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n$

Passaggio 3.3.2

Somma $n^{2}$ e $2 n^{2}$ .

$2 n^{3} + 3 n^{2} + n$