Calcolo Esempi

$y = x^{4} + 5 e^{x}$ , $(0, 5)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = 5$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 5 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 e^{x}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$4 x^{3} + 5 e^{x}$

Passaggio 1.3

Calcola la derivata per $x = 0$ .

$4 {(0)}^{3} + 5 e^{0}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 \cdot 0 + 5 e^{0}$

Passaggio 1.4.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0 + 5 e^{0}$

Passaggio 1.4.1.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Passaggio 1.4.1.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$0 + 5$

Passaggio 1.4.2

Somma $0$ e $5$ .

$5$

Passaggio 2

La retta normale è perpendicolare alla retta tangente. Calcola il reciproco negativo del coefficiente angolare della tangente per trovare quello della retta normale.

$- \frac{1}{5}$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{1}{5}$ e un punto dato $(0, 5)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = - \frac{1}{5} \cdot (x - (0))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 5 = - \frac{1}{5} \cdot (x + 0)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Semplifica $- \frac{1}{5} \cdot (x + 0)$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Somma $x$ e $0$ .

$y - 5 = - \frac{1}{5} \cdot x$

Passaggio 3.3.1.2

$x$ e $\frac{1}{5}$ .

$y - 5 = - \frac{x}{5}$

Passaggio 3.3.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{x}{5} + 5$

Passaggio 3.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

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Passaggio 3.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{1}{5} x) + 5$

Passaggio 3.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{1}{5} x + 5$

Passaggio 4