Calcolo Esempi

$y = \frac{3 x - 1}{2 x + 5}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x - 1}{2 x + 5})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 3 x - 1$ e $g (x) = 2 x + 5$ .

$\frac{(2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(2 x + 5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{(2 x + 5) (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(2 x + 5) (3 + 0) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.6.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{(2 x + 5) \cdot 3 - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $2 x + 5$ .

$\frac{3 \cdot (2 x + 5) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{3 (2 x + 5) - (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 (2 x + 5) - (3 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3 (2 x + 5) - (3 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{3 (2 x + 5) - (3 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [5])}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.11

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{3 (2 x + 5) - (3 x - 1) (2 + 0)}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.12.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{3 (2 x + 5) - (3 x - 1) \cdot 2}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.12.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{3 (2 x + 5) - 2 (3 x - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 5 - 2 (3 x - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 5 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.3.1

Combina i termini opposti in $3 (2 x) + 3 \cdot 5 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1$ .

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Passaggio 3.3.3.1.1

Riordina i fattori nei termini di $3 (2 x)$ e $- 2 (3 x)$ .

$\frac{2 \cdot 3 x + 3 \cdot 5 - 2 \cdot 3 x - 2 \cdot - 1}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Sottrai $2 \cdot 3 x$ da $2 \cdot 3 x$ .

$\frac{3 \cdot 5 + 0 - 2 \cdot - 1}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.3

Somma $3 \cdot 5$ e $0$ .

$\frac{3 \cdot 5 - 2 \cdot - 1}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.3.2.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{15 - 2 \cdot - 1}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{15 + 2}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.3

Somma $15$ e $2$ .

$\frac{17}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{17}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{17}{{(2 x + 5)}^{2}}$