Calcolo Esempi

$\int (3 \sec^{2} (4 x) + 3 \csc^{2} (4 x)) d x$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int 3 \sec^{2} (4 x) + 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 3 \sec^{2} (4 x) d x + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Passaggio 3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \sec^{2} (4 x) d x + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Passaggio 4

Sia $u_{1} = 4 x$ . Allora $d u_{1} = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{1} = 4 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$3 \int \sec^{2} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1} + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Passaggio 5

$\sec^{2} (u_{1})$ e $\frac{1}{4}$ .

$3 \int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{1}{4} \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}) + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Passaggio 7

$\frac{1}{4}$ e $3$ .

$\frac{3}{4} \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Passaggio 8

Poiché la derivata di $\tan (u_{1})$ è $\sec^{2} (u_{1})$ , l'integrale di $\sec^{2} (u_{1})$ è $\tan (u_{1})$ .

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + \int 3 \csc^{2} (4 x) d x$

Passaggio 9

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + 3 \int \csc^{2} (4 x) d x$

Passaggio 10

Sia $u_{2} = 4 x$ . Allora $d u_{2} = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sia $u_{2} = 4 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Differenzia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 10.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + 3 \int \csc^{2} (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

Passaggio 11

$\csc^{2} (u_{2})$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + 3 \int \frac{\csc^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + 3 (\frac{1}{4} \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 13

$\frac{1}{4}$ e $3$ .

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + \frac{3}{4} \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 14

Poiché la derivata di $- \cot (u_{2})$ è $\csc^{2} (u_{2})$ , l'integrale di $\csc^{2} (u_{2})$ è $- \cot (u_{2})$ .

$\frac{3}{4} (\tan (u_{1}) + C) + \frac{3}{4} (- \cot (u_{2}) + C)$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica.

$\frac{3}{4} \tan (u_{1}) + \frac{3}{4} (- \cot (u_{2})) + C$

Passaggio 15.2

$\frac{3}{4}$ e $\cot (u_{2})$ .

$\frac{3}{4} \tan (u_{1}) - \frac{3 \cot (u_{2})}{4} + C$

Passaggio 16

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x$ .

$\frac{3}{4} \tan (4 x) - \frac{3 \cot (u_{2})}{4} + C$

Passaggio 16.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 x$ .

$\frac{3}{4} \tan (4 x) - \frac{3 \cot (4 x)}{4} + C$

Passaggio 17

Riordina i termini.

$\frac{3}{4} \tan (4 x) - \frac{3}{4} \cot (4 x) + C$