Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} + 4}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = \frac{2}{3} \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{2 \sec^{2} (t)}{3}$ è positivo.

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{9 {(\frac{2}{3} \tan (t))}^{2} + 4}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{9 {(\frac{2}{3} \tan (t))}^{2} + 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

$\frac{2}{3}$ e $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{9 {(\frac{2 \tan (t)}{3})}^{2} + 4}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.2

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2 \tan (t)}{3}$ .

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{9 \frac{{(2 \tan (t))}^{2}}{3^{2}} + 4}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.2.2

Applica la regola del prodotto a $2 \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{9 \frac{2^{2} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + 4}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{9 \frac{4 \tan^{2} (t)}{3^{2}} + 4}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{9 \frac{4 \tan^{2} (t)}{9} + 4}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.5

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{9 \frac{4 \tan^{2} (t)}{9} + 4}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $4$ da $4 \tan^{2} (t) + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $4$ da $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $4$ da $4$ .

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $4$ da $4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ .

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.3

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{4 \sec^{2} (t)}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.4

Riscrivi $4 \sec^{2} (t)$ come ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{1}{\frac{2}{3} \tan (t) (2 \sec (t))} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

$\frac{2}{3}$ e $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{2 \tan (t)}{3} (2 \sec (t))} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.2

$2$ e $\frac{2 \tan (t)}{3}$ .

$\int \frac{1}{\frac{2 (2 \tan (t))}{3} \sec (t)} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{4 \tan (t)}{3} \sec (t)} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.4

$\frac{4 \tan (t)}{3}$ e $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{4 \tan (t) \sec (t)}{3}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{4 \tan (t) \sec (t)}{3}$ .

$\int 1 \frac{3}{4 \tan (t) \sec (t)} \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $\frac{3}{4 \tan (t) \sec (t)}$ per $1$ .

$\int \frac{3}{4 \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{2 \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $\frac{3}{4 \tan (t) \sec (t)}$ per $\frac{2 \sec^{2} (t)}{3}$ .

$\int \frac{3 (2 \sec^{2} (t))}{4 \tan (t) \sec (t) \cdot 3} d t$

Passaggio 2.2.8

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{4 \tan (t) \sec (t) \cdot 3} d t$

Passaggio 2.2.9

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{12 \tan (t) \sec (t)} d t$

Passaggio 2.2.10

Elimina il fattore comune di $6$ e $12$ .

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Passaggio 2.2.10.1

Scomponi $6$ da $6 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{6 (\sec^{2} (t))}{12 \tan (t) \sec (t)} d t$

Passaggio 2.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.2.1

Scomponi $6$ da $12 \tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{6 (\sec^{2} (t))}{6 (2 \tan (t) \sec (t))} d t$

Passaggio 2.2.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{6 (2 \tan (t) \sec (t))} d t$

Passaggio 2.2.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{2 \tan (t) \sec (t)} d t$

Passaggio 2.2.11

Elimina il fattore comune di $\sec^{2} (t)$ e $\sec (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.11.1

Scomponi $\sec (t)$ da $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{2 \tan (t) \sec (t)} d t$

Passaggio 2.2.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.11.2.1

Scomponi $\sec (t)$ da $2 \tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) (2 \tan (t))} d t$

Passaggio 2.2.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) (2 \tan (t))} d t$

Passaggio 2.2.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{\sec (t)}{2 \tan (t)} d t$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $\tan (t)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Passaggio 4.2

Riscrivi $\sec (t)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{2} \int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Passaggio 4.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Passaggio 4.4

Elimina il fattore comune di $\cos (t)$ .

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Passaggio 4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Passaggio 4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Passaggio 4.5

Converti da $\frac{1}{\sin (t)}$ a $\csc (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \csc (t) d t$

Passaggio 5

L'integrale di $\csc (t)$ rispetto a $t$ è $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arctan (\frac{3 x}{2})$ .

$\frac{1}{2} \ln (| \csc (\arctan (\frac{3 x}{2})) - \cot (\arctan (\frac{3 x}{2})) |) + C$

Passaggio 8

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} \ln (| \csc (\arctan (\frac{3}{2} x)) - \cot (\arctan (\frac{3}{2} x)) |) + C$