Calcolo Esempi

$\int {(\frac{1 - \sqrt[3]{x}}{x^{2}})}^{\frac{1}{3}} d x$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1 - \sqrt[3]{x}}{x^{2}}$ .

$\int \frac{{(1 - \sqrt[3]{x})}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2})}^{\frac{1}{3}}} d x$

Passaggio 1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Passaggio 1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(1 - \sqrt[3]{x})}^{\frac{1}{3}}}{x^{2 (\frac{1}{3})}} d x$

Passaggio 1.2.2

$2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{{(1 - \sqrt[3]{x})}^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Passaggio 1.3

Sposta $x^{\frac{2}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(1 - \sqrt[3]{x})}^{\frac{1}{3}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

Passaggio 1.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(1 - \sqrt[3]{x})}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Passaggio 1.4.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$\int {(1 - \sqrt[3]{x})}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

Passaggio 1.4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int {(1 - \sqrt[3]{x})}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{- 2}{3}} d x$

Passaggio 1.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int {(1 - \sqrt[3]{x})}^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{2}{3}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 1 - \sqrt[3]{x}$ . Allora $d u = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} d x$ , quindi $1 d u = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 1 - \sqrt[3]{x}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $1 - \sqrt[3]{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \sqrt[3]{x}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \sqrt[3]{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.1.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Passaggio 2.1.3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 2.1.3.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.1.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.1.3.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1.3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Passaggio 2.1.3.7.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 2.1.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 - (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 2.1.3.9

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$0 - \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 2.1.3.10

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.4

Sottrai $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ da $0$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - 1 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} d u$

Passaggio 3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\int - 3 u^{\frac{1}{3}} d u$

Passaggio 4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$- 3 \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$- 3 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $- 3 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ come $- 3 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$- 3 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

$- 3$ e $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 3 \cdot 3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$\frac{- 9}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{9}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - \sqrt[3]{x}$ .

$- \frac{9}{4} {(1 - \sqrt[3]{x})}^{\frac{4}{3}} + C$