Calcolo Esempi

$x^{2} + 2 y^{2} + 5 x - 2 y - 1 = 0$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 2 y^{2} + 5 x - 2 y - 1) = \frac{d}{d x} (0)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2 y^{2} + 5 x - 2 y - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$2 x + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 x + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 x + 4 y y' + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 y y' + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 4 y y' + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$2 x + 4 y y' + 5 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

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Passaggio 2.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 y$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x + 4 y y' + 5 - 2 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + 4 y y' + 5 - 2 y' + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 4 y y' + 5 - 2 y' + 0$

Passaggio 2.6

Semplifica.

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Passaggio 2.6.1

Somma $2 x + 4 y y' + 5 - 2 y'$ e $0$ .

$2 x + 4 y y' + 5 - 2 y'$

Passaggio 2.6.2

Riordina i termini.

$4 y y' + 2 x + 5 - 2 y'$

Passaggio 3

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$4 y y' + 2 x + 5 - 2 y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 y y' + 5 - 2 y' = - 2 x$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 y y' - 2 y' = - 2 x - 5$

Passaggio 5.2

Scomponi $2 y'$ da $4 y y' - 2 y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $2 y'$ da $4 y y'$ .

$2 y' (2 y) - 2 y' = - 2 x - 5$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $2 y'$ da $- 2 y'$ .

$2 y' (2 y) + 2 y' \cdot - 1 = - 2 x - 5$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $2 y'$ da $2 y' (2 y) + 2 y' \cdot - 1$ .

$2 y' (2 y - 1) = - 2 x - 5$

Passaggio 5.3

Dividi per $2 (2 y - 1)$ ciascun termine in $2 y' (2 y - 1) = - 2 x - 5$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $2 (2 y - 1)$ ciascun termine in $2 y' (2 y - 1) = - 2 x - 5$ .

$\frac{2 y' (2 y - 1)}{2 (2 y - 1)} = \frac{- 2 x}{2 (2 y - 1)} + \frac{- 5}{2 (2 y - 1)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y' (2 y - 1)}{2 (2 y - 1)} = \frac{- 2 x}{2 (2 y - 1)} + \frac{- 5}{2 (2 y - 1)}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{- 2 x}{2 (2 y - 1)} + \frac{- 5}{2 (2 y - 1)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2 y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{- 2 x}{2 (2 y - 1)} + \frac{- 5}{2 (2 y - 1)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (2 y - 1)} + \frac{- 5}{2 (2 y - 1)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (2 y - 1)} + \frac{- 5}{2 (2 y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (2 y - 1)} + \frac{- 5}{2 (2 y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- x}{2 y - 1} + \frac{- 5}{2 (2 y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x}{2 y - 1} + \frac{- 5}{2 (2 y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x}{2 y - 1} - \frac{5}{2 (2 y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.2

Per scrivere $- \frac{x}{2 y - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{x}{2 y - 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2 (2 y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(2 y - 1) \cdot 2$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 5.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{x}{2 y - 1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{x \cdot 2}{(2 y - 1) \cdot 2} - \frac{5}{2 (2 y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(2 y - 1) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{x \cdot 2}{2 (2 y - 1)} - \frac{5}{2 (2 y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- x \cdot 2 - 5}{2 (2 y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y' = \frac{- 2 x - 5}{2 (2 y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.6

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 5}{2 (2 y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.7

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (5)}{2 (2 y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - 1 (5)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 5)}{2 (2 y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.3.9.1

Riscrivi $- (2 x + 5)$ come $- 1 (2 x + 5)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + 5)}{2 (2 y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.9.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x + 5}{2 (2 y - 1)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 5}{2 (2 y - 1)}$