Calcolo Esempi

$\int x^{3} \sqrt{9 - x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = 3 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 3 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ è positivo.

$\int {(3 \sin (t))}^{3} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 \sin (t)$ .

$\int {(3 \sin (t))}^{3} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int {(3 \sin (t))}^{3} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.3

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$\int {(3 \sin (t))}^{3} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $9$ da $9$ .

$\int {(3 \sin (t))}^{3} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $9$ da $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int {(3 \sin (t))}^{3} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $9$ da $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int {(3 \sin (t))}^{3} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int {(3 \sin (t))}^{3} \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $9 \cos^{2} (t)$ come ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int {(3 \sin (t))}^{3} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int {(3 \sin (t))}^{3} (3 \cos (t)) (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $3$ da $3 \sin (t)$ .

$\int {(3 (\sin (t)))}^{3} (3 \cos (t)) (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.2

Applica la regola del prodotto a $3 (\sin (t))$ .

$\int 3^{3} \sin^{3} (t) (3 \cos (t)) (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\int 27 \sin^{3} (t) (3 \cos (t)) (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $3$ per $27$ .

$\int 81 \sin^{3} (t) \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $3$ per $81$ .

$\int 243 \sin^{3} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

Passaggio 2.2.6

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int 243 \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.7

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int 243 \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Passaggio 2.2.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 243 \sin^{3} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 2.2.9

Somma $1$ e $1$ .

$\int 243 \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 3

Poiché $243$ è costante rispetto a $t$ , sposta $243$ fuori dall'integrale.

$243 \int \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 4

Metti in evidenza $\sin^{2} (t)$ .

$243 \int \sin^{2} (t) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 5

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\sin^{2} (t)$ come $1 - \cos^{2} (t)$ .

$243 \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 6

Sia $u = \cos (t)$ . Allora $d u = - \sin (t) d t$ , quindi $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u = \cos (t)$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Passaggio 6.1.2

La derivata di $\cos (t)$ rispetto a $t$ è $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$243 \int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Passaggio 7

Moltiplica $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$243 \int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Riscrivi $- 1 u^{2}$ come $- u^{2}$ .

$243 \int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 8.2

Moltiplica $u^{2}$ per $u^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$243 \int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Passaggio 8.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$243 \int - u^{2} + u^{4} d u$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$243 (\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$243 (- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Passaggio 11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$243 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u)$

Passaggio 12

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$243 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$243 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Passaggio 13.1.2

$\frac{1}{5}$ e $u^{5}$ .

$243 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

Passaggio 13.2

Semplifica.

$243 (- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

Passaggio 14

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (t)$ .

$243 (- \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + \frac{1}{5} \cos^{5} (t)) + C$

Passaggio 14.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$243 (- \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3})) + \frac{1}{5} \cos^{5} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Passaggio 15

Riordina i termini.

$243 (- \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{5} \cos^{5} (\arcsin (\frac{1}{3} x))) + C$