Calcolo Esempi

$\int_{0}^{11} \frac{1}{\sqrt[3]{11 - x}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 11 - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 11 - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 1.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 11 - x$ .

$u_{lower} = 11 - 0$

Passaggio 1.3

Sottrai $0$ da $11$ .

$u_{lower} = 11$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 11 - x$ .

$u_{upper} = 11 - 1 \cdot 11$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $11$ .

$u_{upper} = 11 - 11$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $11$ da $11$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 11$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{11}^{0} \frac{- 1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{11}^{0} - \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{11}^{0} \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{u}$ come $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- \int_{11}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Passaggio 4.2

Sposta $u^{\frac{1}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \int_{11}^{0} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{11}^{0} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.3.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$- \int_{11}^{0} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Passaggio 4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \int_{11}^{0} u^{- \frac{1}{3}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$- (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{11}^{0})$

Passaggio 6

$\frac{3}{2}$ e $u^{\frac{2}{3}}$ .

$- (\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}]_{11}^{0})$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$ per $0$ e per $11$ .

$- ((\frac{3 \cdot 0^{\frac{2}{3}}}{2}) - \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2})$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$- (\frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2})$

Passaggio 7.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (\frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2})$

Passaggio 7.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 7.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$- (\frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2})$

Passaggio 7.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- (\frac{3 \cdot 0^{2}}{2} - \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2})$

Passaggio 7.2.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- (\frac{3 \cdot 0}{2} - \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2})$

Passaggio 7.2.5

Moltiplica $3$ per $0$ .

$- (\frac{0}{2} - \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2})$

Passaggio 7.2.6

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

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Passaggio 7.2.6.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$- (\frac{2 (0)}{2} - \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2})$

Passaggio 7.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2})$

Passaggio 7.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2})$

Passaggio 7.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (\frac{0}{1} - \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2})$

Passaggio 7.2.6.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- (0 - \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2})$

Passaggio 7.2.7

Sottrai $\frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2}$ da $0$ .

$- - \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2}$

Passaggio 7.2.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2}$

Passaggio 7.2.9

Moltiplica $\frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2}$ per $1$ .

$\frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{3 \cdot 11^{\frac{2}{3}}}{2}$

Forma decimale:

$7.41913116 \dots$

Passaggio 9