Calcolo Esempi

$y = x^{2} \ln (x)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{2} \ln (x))$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x^{2}$ e $g (y) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \ln (y)$ e $g (y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d y} [x]) + \ln (x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d y} [x]) + \ln (x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x$ .

$x^{2} (\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [x]) + \ln (x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 3.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

$\frac{1}{x}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{x} \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{1} \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.2.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$x \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x x' + \ln (x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x$ .

$x x' + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x x' + \ln (x) (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x$ .

$x x' + \ln (x) (2 x \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 3.6

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x x' + \ln (x) (2 x x')$

Passaggio 3.7

Riordina i termini.

$x x' + 2 x \ln (x) x'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = x x' + 2 x \ln (x) x'$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $x x' + 2 x \ln (x) x' = 1$ .

$x x' + 2 x \ln (x) x' = 1$

Passaggio 5.2

Semplifica $x x' + 2 x \ln (x) x'$ .

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Passaggio 5.2.1

Semplifica $2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$x x' + x \ln (x^{2}) x' = 1$

Passaggio 5.2.2

Riordina i fattori in $x x' + x \ln (x^{2}) x'$ .

$x x' + x x' \ln (x^{2}) = 1$

Passaggio 5.3

Scomponi $x x'$ da $x x' + x x' \ln (x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $x x'$ da $x x'$ .

$x x' \cdot 1 + x x' \ln (x^{2}) = 1$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $x x'$ da $x x' \ln (x^{2})$ .

$x x' \cdot 1 + x x' \ln (x^{2}) = 1$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $x x'$ da $x x' \cdot 1 + x x' \ln (x^{2})$ .

$x x' (1 + \ln (x^{2})) = 1$

Passaggio 5.4

Dividi per $x (1 + \ln (x^{2}))$ ciascun termine in $x x' (1 + \ln (x^{2})) = 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $x (1 + \ln (x^{2}))$ ciascun termine in $x x' (1 + \ln (x^{2})) = 1$ .

$\frac{x x' (1 + \ln (x^{2}))}{x (1 + \ln (x^{2}))} = \frac{1}{x (1 + \ln (x^{2}))}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x x' (1 + \ln (x^{2}))}{x (1 + \ln (x^{2}))} = \frac{1}{x (1 + \ln (x^{2}))}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x' (1 + \ln (x^{2}))}{1 + \ln (x^{2})} = \frac{1}{x (1 + \ln (x^{2}))}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $1 + \ln (x^{2})$ .

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Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (1 + \ln (x^{2}))}{1 + \ln (x^{2})} = \frac{1}{x (1 + \ln (x^{2}))}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{1}{x (1 + \ln (x^{2}))}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x (1 + \ln (x^{2}))}$