Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{3} (x) d x$

Passaggio 1

Metti in evidenza $\cos^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \cos (x) d x$

Passaggio 2

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\cos^{2} (x)$ come $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

Passaggio 3

Sia $u = \sin (x)$ . Allora $d u = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u = \sin (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 3.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Passaggio 3.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 3.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 3.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 3.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 3.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{1} d u + \int_{0}^{1} - u^{2} d u$

Passaggio 5

Applica la regola costante.

$u]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - u^{2} d u$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$u]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} u^{2} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

Passaggio 8

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$u]_{0}^{1} - (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Calcola $u$ per $1$ e per $0$ .

$(1) + 0 - (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Passaggio 9.2

Calcola $\frac{u^{3}}{3}$ per $1$ e per $0$ .

$1 + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Somma $1$ e $0$ .

$1 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 9.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 9.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Passaggio 9.3.4

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Passaggio 9.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Passaggio 9.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Passaggio 9.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Passaggio 9.3.4.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$1 - (\frac{1}{3} - 0)$

Passaggio 9.3.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} + 0)$

Passaggio 9.3.6

Somma $\frac{1}{3}$ e $0$ .

$1 - \frac{1}{3}$

Passaggio 9.3.7

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Passaggio 9.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 - 1}{3}$

Passaggio 9.3.9

Sottrai $1$ da $3$ .

$\frac{2}{3}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2}{3}$

Forma decimale:

$0.\overline{6}$